Problema derivata
Ragazzi ho un dubbio enorme.
Mi trovo di fronte alla funzione $(1/x)^x$
Ho provato a derivarla, e mi viene $-(1/x)^(x+2)*ln(1/x)$
Il procedimento che ho seguito mi sembra corretto, ma non può essere, perché la derivata deve annullarsi in $x = e^-1$ (grafico della funzione alla mano, lì c'è un punto stazionario) e invece, per come l'ho fatta io, si annulla in $x=1$
Il procedimento:
1) Prima ho derivato $(1/x)^x$ in $(1/x)^x*ln(1/x)$
2) Poi ho aggiunto, come fattore, la derivata di $(1/x)$, e mi è venuto $(1/x)^x*ln(1/x)*(-1/x^2)$
3) Qualche passaggio algebrico e si arriva alla forma $-(1/x)^(x+2)*ln(1/x)$
Che ho fatto di male???
Mi trovo di fronte alla funzione $(1/x)^x$
Ho provato a derivarla, e mi viene $-(1/x)^(x+2)*ln(1/x)$
Il procedimento che ho seguito mi sembra corretto, ma non può essere, perché la derivata deve annullarsi in $x = e^-1$ (grafico della funzione alla mano, lì c'è un punto stazionario) e invece, per come l'ho fatta io, si annulla in $x=1$
Il procedimento:
1) Prima ho derivato $(1/x)^x$ in $(1/x)^x*ln(1/x)$
2) Poi ho aggiunto, come fattore, la derivata di $(1/x)$, e mi è venuto $(1/x)^x*ln(1/x)*(-1/x^2)$
3) Qualche passaggio algebrico e si arriva alla forma $-(1/x)^(x+2)*ln(1/x)$
Che ho fatto di male???
Risposte
Per derivare $(\frac{1}{x})^{x}$ devi ragionare così:
$(\frac{1}{x})^{x}=e^{ln{(\frac{1}{x})^{x}}}=e^{xln(\frac{1}{x})}$
A questo punto derivando si ottiene:
$e^{xln(\frac{1}{x})} \cdot (ln(\frac{1}{x}) + x \cdot x \cdot (-\frac{1}{x^{2}}))$ che risulta essere:
$(\frac{1}{x})^{x} \cdot (ln(\frac{1}{x})-1)$
Per vedere dove si annulla la derivata si pone $ln(\frac{1}{x})=1$, cioè $\frac{1}{x}=e$, $x=\frac{1}{e}$.
In generale, quando sia la base che l'esponente sono funzioni di $x$, prima di derivare, ti conviene scrivere $f(x)^{g(x)}$ come $e^{ln{f(x)^{g(x)}}}=e^{g(x)ln{f(x)}}$.
$(\frac{1}{x})^{x}=e^{ln{(\frac{1}{x})^{x}}}=e^{xln(\frac{1}{x})}$
A questo punto derivando si ottiene:
$e^{xln(\frac{1}{x})} \cdot (ln(\frac{1}{x}) + x \cdot x \cdot (-\frac{1}{x^{2}}))$ che risulta essere:
$(\frac{1}{x})^{x} \cdot (ln(\frac{1}{x})-1)$
Per vedere dove si annulla la derivata si pone $ln(\frac{1}{x})=1$, cioè $\frac{1}{x}=e$, $x=\frac{1}{e}$.
In generale, quando sia la base che l'esponente sono funzioni di $x$, prima di derivare, ti conviene scrivere $f(x)^{g(x)}$ come $e^{ln{f(x)^{g(x)}}}=e^{g(x)ln{f(x)}}$.
"Tipper":
Per derivare $(\frac{1}{x})^{x}$ devi ragionare così:
$(\frac{1}{x})^{x}=e^{ln{(\frac{1}{x})^{x}}}=e^{xln(\frac{1}{x})}$
A questo punto derivando si ottiene:
$e^{xln(\frac{1}{x})} \cdot (ln(\frac{1}{x}) + x \cdot x \cdot (-\frac{1}{x^{2}}))$ che risulta essere:
$(\frac{1}{x})^{x} \cdot (ln(\frac{1}{x})-1)$
Per vedere dove si annulla la derivata si pone $ln(\frac{1}{x})=1$, cioè $\frac{1}{x}=e$, $x=\frac{1}{e}$.
In generale, quando sia la base che l'esponente sono funzioni di $x$, prima di derivare, ti conviene scrivere $f(x)^{g(x)}$ come $e^{ln{f(x)^{g(x)}}}=e^{g(x)ln{f(x)}}$.
Ti ringrazio. Ma non ho capito perché non posso applicare la formula $a^x => a^x*ln(a)*(a)'$ che in altre occasioni non mi ha tradito
Sei sicuro che questa formula sia esatta?
Se hai $a^x$, con $a$ costante, allora la derivata vale $a^x ln(a)$, ma se $a$ è una funzione di $x$ non penso che quella formula vada bene...
Se hai $a^x$, con $a$ costante, allora la derivata vale $a^x ln(a)$, ma se $a$ è una funzione di $x$ non penso che quella formula vada bene...
"Tipper":
Sei sicuro che questa formula sia esatta?
Se hai $a^x$, con $a$ costante, allora la derivata vale $a^x ln(a)$, ma se $a$ è una funzione di $x$ non penso che quella formula vada bene...
La formula è esatta se la base è una costante. In questo caso è una funzione.
Se la base è una costante la formula esatta è: $d/dx a^x = a^x ln(a)$ e non $a^x ln(a) a'$, come scritto, in quanto $a'$ sarebbe zero.
"Tipper":
Se la base è una costante la formula esatta è: $d/dx a^x = a^x ln(a)$ e non $a^x ln(a) a'$, come scritto, in quanto $a'$ sarebbe zero.
Mi era sfuggito l'$a'$.. Naturalmente è la tua quella esatta.
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