Problema della continuità con punti isolati
Salve,
Volevo chiarito questo concetto:
Se io ho una successione, quindi una [tex]f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}[/tex] il prof ci ha spiegato che ci si può porre il problema della continuità ma il limite va considerato in [tex]\mathbb{R}\cup \left{+\infty, -\infty\right[/tex]. Ma allora mi domando...come faccio a vedere se una funzione è continua se non posso calcolare il limite?
Ho un pò di confusione
Volevo chiarito questo concetto:
Se io ho una successione, quindi una [tex]f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}[/tex] il prof ci ha spiegato che ci si può porre il problema della continuità ma il limite va considerato in [tex]\mathbb{R}\cup \left{+\infty, -\infty\right[/tex]. Ma allora mi domando...come faccio a vedere se una funzione è continua se non posso calcolare il limite?
Ho un pò di confusione
Risposte
Ogni funzione è continua in un punto isolato del suo dominio, per definizione.
E se invece ho una funzione [tex]f:A \to \mathbb{R}[/tex] con [tex]A=\left \{1,2,3,4 \right \}[/tex] essa risulta continua per definizione sempre, ma per quanto riguarda il limite ?
Per aver la possibilità di parlare di limite, l'insieme [tex]$A$[/tex] dovrebbe avere qualche accumulazione, però nel nostro caso...
...nel nostro caso il derivato è vuoto e quindi non ha senso. Ok, capito. Grazie
"gugo82":
Ogni funzione è continua in un punto isolato del suo dominio, per definizione.
Confesso che questa frase all'inizio mi ha un po' turbato. La verità è che non mi sono mai posto il problema della continuità in un punto isolato del dominio.
Sia $f:A\to Y$, con $A\subset X$ ($X,Y$ spazi topologici, $A$ con la topologia indotta). $f$ è continua in $x\in A$ se per ogni intorno $J$ di $f(x)$ in $Y$ si ha che $f^{-1}(J)$ è intorno di $x$ in $A$.
Beh, detto questo, ciò che hai detto non è "per definizione", ma perchè...si dimostra!
Vabbè scusa per questa intrusione da geometra, volevo solo precisare.
Naturalmente Orlok può tranquillamente decidere di ignorare il mio post se non conosce questi dettagli di topologia.
"cirasa":
Naturalmente Orlok può tranquillamente decidere di ignorare il mio post se non conosce questi dettagli di topologia.
Effettivamente di topologia non è previsto che sappia queste cose....
Io ho semplicemente fatto questa osservazione:
Sia [tex]f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}[/tex] come ad esempio una qualsiasi successione [tex](a_n)_{n\in \mathbb{N}}[/tex] . Prendo in esame [tex]a_n=\frac{1}{n}[/tex] per essa [tex]$\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n}=\frac{1}{+\infty}=f(+\infty)$[/tex] e quindi dato che [tex]\mathbb{N}[/tex] è fatto tutto di punti isolati....
In effetti, mi aggrego a cirasa, con considerazioni mooooolto 
più semplici delle sue.
Semplicemente: dico $f:A to RR$ continua in $x_0$ se e solo se $forall epsilon>0, " " EE delta_epsilon >0, " " forall x in A " si ha " |x-x_0| |f(x)-f(x_0)|
In altre parole, la questione - secondo me - è questa: nella continuità si richiede solo l'aderenza del punto, non l'accumulazione (e quindi l'intorno non è bucato).
E' quindi ovvio che - detto $x_0$ un punto isolato - fissato un intorno $B$ di raggio qualsiasi (sull'asse $y$) di $f(x_0)$, troviamo un intorno di centro $x_0$ (e raggio $delta$) tale che l'immagine di tutti i suoi punti sia contenuta in $B$. Infatti, in tale intorno non vi sono altri punti all'infuori di $x_0$ e - banalmente - $f(x_0) in B$.
Ho detto scemenze?
Grazie
più semplici delle sue. Semplicemente: dico $f:A to RR$ continua in $x_0$ se e solo se $forall epsilon>0, " " EE delta_epsilon >0, " " forall x in A " si ha " |x-x_0|
In altre parole, la questione - secondo me - è questa: nella continuità si richiede solo l'aderenza del punto, non l'accumulazione (e quindi l'intorno non è bucato).
E' quindi ovvio che - detto $x_0$ un punto isolato - fissato un intorno $B$ di raggio qualsiasi (sull'asse $y$) di $f(x_0)$, troviamo un intorno di centro $x_0$ (e raggio $delta$) tale che l'immagine di tutti i suoi punti sia contenuta in $B$. Infatti, in tale intorno non vi sono altri punti all'infuori di $x_0$ e - banalmente - $f(x_0) in B$.
Ho detto scemenze?
Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo