Problema del corridore/nuotatore

[Brancaleone1]

Ciao a tutti

ho trovato un esercizietto interessante, ma non sono riuscito a risolverlo.

Ve lo posto, magari volete divertirvi anche voi!

Un uomo deve raggiungere un punto che si trova sull'altra sponda di un fiume, 100 metri più a valle; il fiume è rettilineo e largo 10 metri; l'uomo può correre sulla sponda del fiume con velocità $v$, quindi tuffarsi e attraversare a nuoto il fiume, con velocità inferiore pari a $delta v$ (con $0 Determinare dopo quanti metri di corsa l'uomo si deve tuffare, affinché sia minimo il tempo impiegato a raggiungere la meta.
Se l'uomo è un nuotatore provetto, $delta$ sarà quasi uguale a $1$: determinare il valore esatto di $delta$ per il quale all'uomo conviene tuffarsi immediatamente, senza percorrere neanche un metro sulla terraferma.

[gugo82]

Il problema è molto semplice e lo lascio volentieri a chi prepara Analisi I (anche se so già che nessuno ci proverà a risolverlo).

Però propongo una variante (che richiede la conoscenza di qualcosa di Analisi II):

Un uomo deve raggiungere un punto che si trova sull'altra sponda di un fiume, \(L\) metri più a valle; il fiume è rettilineo e largo \(l\) metri; l'uomo può correre sulla sponda del fiume con velocità \(v\) per un tratto di lunghezza \(x\), quindi tuffarsi e attraversare a nuoto il fiume, con velocità inferiore e pari a \(\delta v\) (con \( 0<\delta <1\)).

Supponiamo che nel fiume il nuotatore incontri una corrente favorevole al suo movimento, di modo che il tratto percorso lungo il fiume, invece d'essere rettilineo, è un arco di parabola col vertice nel punto d'immersione; supponiamo, inoltre, che il nostro nuotatore riesca a mantenere la velocità costante ed uguale a \(\delta v\) lungo il tratto parabolico e che egli sia in grado di gestire la rotta in modo che il punto in cui la sua traiettoria tocca la sponda opposta sia proprio il punto di arrivo.

È possibile dire che esiste un valore di \(x\) per il quale il tempo di percorrenza è minimo?

L'idea di una traiettoria possibile è la seguente:
[asvg]xmin=0; xmax=5; ymin=0; ymax=5;
noaxes();
stroke="lightblue"; fill="lightblue"; rect([0,-1],[5,6]);
stroke="yellow"; fill="yellow"; rect([-1,-1],[0,6]); rect([5,-1],[6,6]);
stroke="red"; strokewidth=2.5; fill="none"; line([0,5],[0,4]); plot("4-(2*x/5)^2",0,5); dot([0,5]); dot([5,0]);[/asvg]

[Zero87]

"gugo82":Il problema è molto semplice e lo lascio volentieri a chi prepara Analisi I (anche se so già che nessuno ci proverà a risolverlo).

"gugo82":Però propongo una variante (che richiede la conoscenza di qualcosa di Analisi II):

Perché non la proponi sulla sezione "scervelliamoci un po'"?

[gugo82]

"Zero87":[quote="gugo82"]Però propongo una variante (che richiede la conoscenza di qualcosa di Analisi II):

Perché non la proponi sulla sezione "scervelliamoci un po'"?[/quote]
Perché non si risolve con metodi elementarissimi (si deve saper calcolare almeno la lunghezza di un arco di parabola, il che non è semplice se non si conoscono bene gli integrali).

[Zero87]

"gugo82":[quote="Zero87"]Perché non la proponi sulla sezione "scervelliamoci un po'"?

Perché non si risolve con metodi elementarissimi (si deve saper calcolare almeno la lunghezza di un arco di parabola, il che non è semplice se non si conoscono bene gli integrali).[/quote]
Buonanotte, ho fatto casino con i nomi ,
intendevo quella universitaria, "pensare un po' di più".

[Quinzio]

Chiedo perdono, forse il mio cervello dorme ancora, ma perchè mai il percorso è un arco di parabola ?
Il nuotatore nuota perpendicolarmente alle sponde, la sua velocità è la somma vettoriale tra la sua velocità e quella dell'acqua (di cui non si conosce l'entità), quindi il percorso dovrebbe essere fatto da due segmenti.
Supponiamo che $\deltav$ sia già la velocità complessiva del nuotatore nel fiume.
Il primo tratto lungo la sponda ($x$ metri) a velocità $v$ impiega $x/v$ tempo.
Il secondo tratto impiega ($(\sqrt(10^2+(100-x)^2))/(\deltav)$) tempo.

Si tratta di minimizzare la somma dei due tempi.

[gugo82]

"Quinzio":Chiedo perdono, forse il mio cervello dorme ancora, ma perchè mai il percorso è un arco di parabola ?

Avevo proposto una variazione del problema originario, tanto per renderlo un po' più complesso.
Sinceramente, non avevo nemmeno lontanamente immaginato di creare qualcosa di fisicamente sensato.

[Quinzio]

Ah ok, avevo letto il 3d superficialmente.

[MrMojoRisin891]

ciao a tutti, scusate se riprendo una discussione un po' datata... ma qualcuno ha risolto il quesito?

[gugo82]

Quale dei due? Quello originario o il mio "rilancio"?

[MrMojoRisin891]

l'originario... a me viene 97m sulla riva + 10,5 a nuoto...

[gugo82]

Vabbé, il risultato numerico chi se lo ricorda...

Posta il procedimento, piuttosto.

Per quanto riguarda il mio rilancio, la strada è la seguente.

Sia \(T(x)\) il tempo totale impiegato dal tizio.
Chiaramente:
\[ \tag{1}
T(x)=T_c(x) + T_n(x)\; ,
\]
in cui \(T_c\) e \(T_n\) sono, rispettivamente, i tempi parziali impiegati a percorrere il tratto di corsa ed il tratto a nuoto.
Per noti fatti di cinematica:
\[
\tag{2}
T_c(x) = \frac{1}{v}\ x
\]
e d'altra parte:
\[
\tag{3}
T_n(x) = \frac{1}{\delta v}\ \ell (x)
\]
in cui \(\ell (x)\) è la lunghezza dell'arco di parabola percorso a velocità costante.
Introdotto un sistema d'assi cartesiani come in figura:
[asvg]xmin=-1; xmax=5; ymin=-1; ymax=5;
axes();
stroke="red"; strokewidth=2.5; fill="none"; line([0,5],[0,4]); plot("4-(2*x/5)^2",0,5); dot([0,5]); dot([5,0]);
text([0,4.5],"x",left); text([0,2],"L-x",left); text([5,0],"l",below);[/asvg]
l'arco di parabola è il grafico della funzione:
\[
d(s) := \frac{L-x}{l^2}\ \left( l^2 - s^2\right)\qquad ,\ s\in [0,l]
\]
sicché:
\[
\tag{4}
\begin{split}
\ell(x) &:= \int_0^l \sqrt{1+\left( d^\prime (s)\right)^2}\ \text{d} s\\
&= \int_0^l \sqrt{1+ \frac{4(L-x)^2}{l^4}\ s^2}\ \text{d} s\; .
\end{split}
\]
Sostituendo (2) e (3) in (1) e tenendo presente la (4), si trova:
\[
\tag{5}
T(x) := \frac{1}{v}\ x + \frac{1}{\delta v}\ \int_0^l \sqrt{1+ \frac{4(L-x)^2}{l^4}\ s^2}\ \text{d} s
\]
e questa funzione va minimizzata in \([0,L]\).

[MrMojoRisin891]

in formule, dato
d = 100m
L = 10m
s = spazio percorso sulla riva
si tratta di derivare il tempo totale, che sarebbe
$ ((L^2 + (d-s)^2)^(1/2) / (δv)) + s/v $
e minimizzare la funzione.
Tempo fa la risolsi, ora mi sto incasinando con la derivata! aiuto

[stefano.balzarotti]

Scusate se riapro questo topic,ma ho incontrato lo stesso problema:

dato \(\displaystyle f(s) = \frac{\sqrt{(L^2 + (d-s)^2)}}{(δv)}) + \frac{s}{v} = \frac{\sqrt{(100 + (100-s)^2)}}{(δv)}) + \frac{s}{v} \)

calcolo la derivata rispetto a \(\displaystyle s \), che dovrebbe essere:

\(\displaystyle f'(s) = \frac{s - 100}{δv\sqrt{s^2 - 200 s + 10100}} + \frac{1}{v} \)

Ora in teoria dovrei porre la derivata \(\displaystyle f'(s)=0 \), e a parte il calcolo che mi sembra un po' assurdo, se non ho fatto errori trovo:

\(\displaystyle s = \frac{10(10 δ^2 - \sqrt{δ^2 - δ^4} - 10)}{δ^2 - 1} \)

Il problema è che mi rimane \(\displaystyle δ \) come incognita, come dovrei procedere per trovare \(\displaystyle 97m \) a riva e \(\displaystyle 10.5 m \) a nuoto?