Problema convergenza serie
Ciao a tutti vorrei discutere con voi circa la risoluzione di questa serie. Io ho provato a risolverlo innanzitutto ponendo il $cos(1/n^(a))<=1$ e quindi poi facendo cosi al numeratore verrebbe 0 e applicando il confronto asintotico al denominatore verrebbe che la serie diverge. Voi che ne pensate? Ho sbagliato?
Risposte
"escucho":
Ho sbagliato?
Dipende da come hai applicato il criterio del confronto... Prova a trascrivere un po' di passaggi.
in primis come ho scritto ho imposto la condizione del coseno. Seconda cosa ho visto che tra $e^n$ e $n$ va piu velocemente a infinito $e^n$ e quindi n posso toglierlo e rimane $ln(e^n)$ e quindi n. Di conseguenza la serie è $0/n$ e arrivato a questo punto non so come procedere.
Vabbè, detto un po' più formalmente si ha:
[tex]$\ln (n+e^n) =\ln e^n(\frac{n}{e^n} +1)=n+\ln \left( 1+\frac{n}{e^n}\right) \sim n$[/tex]
(perchè [tex]$\ln \left( 1+\frac{n}{e^n}\right) \to 0$[/tex] quando [tex]$n\to +\infty$[/tex]); questo accomoda il denominatore, in quanto per note proprietà delle potenze si trova:
[tex]$\left[ \ln (n+e^n) \right]^a \sim n^a$[/tex].
Ma del numeratore che mi dici?
Ti viene nulla in mente per confrontare anche quello? Tipo qualche limite notevolissimo...
P.S.: La condizione sul coseno è "inutile": infatti per ogni [tex]$x\in \mathbb{R}$[/tex] è [tex]$-1\leq \cos x \leq 1$[/tex], quindi è automatico che [tex]$1-\cos \frac{1}{n^a} \geq 0$[/tex] per ogni [tex]$n$[/tex].
[tex]$\ln (n+e^n) =\ln e^n(\frac{n}{e^n} +1)=n+\ln \left( 1+\frac{n}{e^n}\right) \sim n$[/tex]
(perchè [tex]$\ln \left( 1+\frac{n}{e^n}\right) \to 0$[/tex] quando [tex]$n\to +\infty$[/tex]); questo accomoda il denominatore, in quanto per note proprietà delle potenze si trova:
[tex]$\left[ \ln (n+e^n) \right]^a \sim n^a$[/tex].
Ma del numeratore che mi dici?
Ti viene nulla in mente per confrontare anche quello? Tipo qualche limite notevolissimo...
P.S.: La condizione sul coseno è "inutile": infatti per ogni [tex]$x\in \mathbb{R}$[/tex] è [tex]$-1\leq \cos x \leq 1$[/tex], quindi è automatico che [tex]$1-\cos \frac{1}{n^a} \geq 0$[/tex] per ogni [tex]$n$[/tex].
Limiti notevoli niente. Ma mi è venuto in mente però di approssimare $cos(1/n^a)$ con Taylor e quindi verrebbe $1-(1/2(n^(2a)))$. A questo punto non saprei proprio.
Ok, Taylor va benissimo... Però devi stare attento: guarda che, essendo [tex]$1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^2$[/tex] intorno a [tex]$0$[/tex], hai [tex]$1-\cos \frac{1}{n^a} \sim \frac{1}{2n^{2a}}$[/tex] per [tex]$n\to +\infty$[/tex].*
Ora abbiamo stabilito che la successione degli addendi ha numeratore asintotico a [tex]$\frac{1}{2n^{2a}}$[/tex] e denominatore asintotico a [tex]$n^a$[/tex]... Come concludiamo?
__________
* Che poi o usi Taylor o ricordi il limite notevolissimo [tex]$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} =\frac{1}{2}$[/tex] è la stessa cosa.
Ora abbiamo stabilito che la successione degli addendi ha numeratore asintotico a [tex]$\frac{1}{2n^{2a}}$[/tex] e denominatore asintotico a [tex]$n^a$[/tex]... Come concludiamo?
__________
* Che poi o usi Taylor o ricordi il limite notevolissimo [tex]$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} =\frac{1}{2}$[/tex] è la stessa cosa.
Bhe alla fin fine avremmo una serie di tipo armonico ovvero $1/(2n^(3a))$ quindi sarei tentato di dire che per ogni valore di $a>0$ la serie converge. Dico bene prof? 
"escucho":
Bhe alla fin fine avremmo una serie di tipo armonico ovvero $1/(2n^(3a))$
Ok!
"escucho":
quindi sarei tentato di dire che per ogni valore di $a>0$ la serie converge. Dico bene prof?
Stai attento.
Per quali valori dell'esponente [tex]$p$[/tex] converge la serie armonica generalizzata [tex]$\sum \frac{1}{n^p}$[/tex]?
(Se non lo ricordi vai di corsa a rivederti la teoria!
)
La serie armonica generalizzata che hai scritto converge per $p>1$.
Quindi, visto che nel tuo caso hai [tex]$p=3a$[/tex], per quali valori di [tex]$a$[/tex] converge la serie?
bhe direi proprio che per $a>1/3$ sbaglio?
No, tutto ok. 
graaaaaazie mille 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo