Problema convergenza serie
Buongiorno, ho un problema con il seguente esercizio:
la seguente serie
$ sum_(n = 1)oo (sqrt(4n+1)+(n+3)^(1/3))/(n^a+5) $
converge se e solo se:
a) a>1
b) a>3/2
c) a>3/4
d) a>2/3
In teoria la risposta dovrebbe essere la b, per il criterio del confronto, ma non capisco come ricondurre quell'espressione a una serie armonica generalizzata. Scusate se ho messo il simbolo di infinito di fianco e non sopra, ma non so come metterlo in alto
la seguente serie
$ sum_(n = 1)oo (sqrt(4n+1)+(n+3)^(1/3))/(n^a+5) $
converge se e solo se:
a) a>1
b) a>3/2
c) a>3/4
d) a>2/3
In teoria la risposta dovrebbe essere la b, per il criterio del confronto, ma non capisco come ricondurre quell'espressione a una serie armonica generalizzata. Scusate se ho messo il simbolo di infinito di fianco e non sopra, ma non so come metterlo in alto
Risposte
Si mette con l'apice
\sum_{n=1}^{\infty}
comunque
$sqrt(4n+1)to sqrt(4n)to k*n^{1/2}$
$(n+3)^{1/3} to n^{1/3}$
quindi il num è asintotico a $k*n^{1/2}$
$n^{\alpha}+5 to n^{\alpha}$ se $n>0$
quindi il den è asintotico a $n^{\alpha}$
hai quindi $frac{k*n^{1/2}}{n^{\alpha}}=k*frac{1}{n^{\alpha-1/2}}$
\sum_{n=1}^{\infty}
comunque
$sqrt(4n+1)to sqrt(4n)to k*n^{1/2}$
$(n+3)^{1/3} to n^{1/3}$
quindi il num è asintotico a $k*n^{1/2}$
$n^{\alpha}+5 to n^{\alpha}$ se $n>0$
quindi il den è asintotico a $n^{\alpha}$
hai quindi $frac{k*n^{1/2}}{n^{\alpha}}=k*frac{1}{n^{\alpha-1/2}}$
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