Problema continuità con parametro funzioni a 2 variabili
Salve ragazzi, innanzitutto voglio ringraziare tutti coloro che in questi giorni mi stanno dando una mano per la risoluzione di alcuni esercizi e dubbi di comprensione.Siete davvero speciali.
Devo però proporre un esercizio dove ho riscontrato un dubbio più che altro nella parte finale.
L'esercizio è il seguente:
Data la funzione
$sin(x^2-xy)/|x|^(a)$, posta uguale a zero per $x=0$ stabilire per quali valori del parametro $a$ la funzione è continua nei punti nell asse y.
Io ho operato nel modo seguente:
Ho sviluppato il seno in serie, e ho considerato la restrizione y=mx ottenendo:
$(x^2-mx^2)/|x|^a=$$(x^2(1-m))/|x|^a$
Deducendo subito che per $a=2$ il limite per $(x,y)->(0,0)$della funzione data non esiste, mentre per $a<2$ la funzione è continua nei punti dell'asse y.Ora la mia domanda è come faccio effettivamente a dimostrare che per $a<2$ la funzione converge a $(0,0)$ per $(x,y)->(0,0)$?Il ragionamento fatto è corretto?
Devo però proporre un esercizio dove ho riscontrato un dubbio più che altro nella parte finale.
L'esercizio è il seguente:
Data la funzione
$sin(x^2-xy)/|x|^(a)$, posta uguale a zero per $x=0$ stabilire per quali valori del parametro $a$ la funzione è continua nei punti nell asse y.
Io ho operato nel modo seguente:
Ho sviluppato il seno in serie, e ho considerato la restrizione y=mx ottenendo:
$(x^2-mx^2)/|x|^a=$$(x^2(1-m))/|x|^a$
Deducendo subito che per $a=2$ il limite per $(x,y)->(0,0)$della funzione data non esiste, mentre per $a<2$ la funzione è continua nei punti dell'asse y.Ora la mia domanda è come faccio effettivamente a dimostrare che per $a<2$ la funzione converge a $(0,0)$ per $(x,y)->(0,0)$?Il ragionamento fatto è corretto?
Risposte
Penso che la funzione si definita $0$ anche in tutti i punti dell'asse $y$ diversi dall'origine.
In ogni caso il tuo ragionamento non va bene, come sempre la continuità sulle rette non basta mai, è sempre meglio evitare di considerare restrizioni quando si ha a che fare con parametri.
Prova a risolvere quel limite quando $a=1$.
In ogni caso il tuo ragionamento non va bene, come sempre la continuità sulle rette non basta mai, è sempre meglio evitare di considerare restrizioni quando si ha a che fare con parametri.
Prova a risolvere quel limite quando $a=1$.
quando $a=1$ la funzione non tende a zero?
Come devo ragionare se il ragionamente non è corretto?
"gedo1991":
quando $a=1$ la funzione non tende a zero?
Direi di no: $lim_( (x,y)->(0,y_0) ) sin(x^2-xy) / |x| = lim_( (x,y)->(0,y_0) ) x/|x|(x-y) = lim_( (x,y)->(0,y_0) ) sign(x) (x-y) = pm y_0$. Quindi è continua solo in $ul(0)$ se $a=1$.
Prova a non considerare restrizioni della funzione, lo sviluppo di Taylor è giusto farlo. Anche perchè considerando le rette consideri il limite solo nell'origine, l'esercizio non chiede mica la continuità su ogni punto dell'asse $y$ ?
perchè nel limite che hai impostato y non tende a zero?
"gedo1991":
posta uguale a zero in $(0,0)$ stabilire per quali valori del parametro $a$ la funzione è continua nei punti nell asse y.
Perchè quello che chiede l'esercizio è questo, oltretutto mi pare strano che sia definita nulla solo nell'origine, altrimenti non ha senso parlare di continuità negli altri punti dell'asse $y$.
hai ragione, ho sbagliato io a copiare la traccia, ma lo stesso non ho capito come devo ragionare senza considerare restrizioni 
Dai non è difficile, ti ho già fatto metà esercizio.
Usa gli sviluppi di Taylor e poi non considerare restrizioni, ma studia bene il limite che ho scritto io, con la sola differenza di mettere $|x|^a$ invece del solo caso $a=1$.
Usa gli sviluppi di Taylor e poi non considerare restrizioni, ma studia bene il limite che ho scritto io, con la sola differenza di mettere $|x|^a$ invece del solo caso $a=1$.
quindi devo dire che se a<1 la funzione tende a zero(e dovrebbe essere continua) mentre per a>1 tende a infinito e dovrebbe non essere continua? giusto?
Grosso modo sì, magari prova a scriverlo un po' meglio..
per $a<=1$ la funzione è continua nei punti dell asse y, mentre per a>1 la funzione non è continua nei punti dell asse y.Quello che io mi chiedo ora è: quest affermazione va anche dimostrata?
Mi lasci perplesso quando dici certe cose.. scusa ma a questa affermazione come ci sei arrivato? O.o
Oltretutto non è per niente precisa, e per scriverlo un po' meglio io intendevo proprio dimostrarlo (se vuoi chiamarla dimostrazione, ma sono veramente due passaggi).
Oltretutto non è per niente precisa, e per scriverlo un po' meglio io intendevo proprio dimostrarlo (se vuoi chiamarla dimostrazione, ma sono veramente due passaggi).
si ma io non riesco a capirti a volte, mi dispiace.E fra le altre cose non capisco come si dimostri non avendo mai visto un esercizio del genere!
Puoi aiutarmi a capire come posso effettivamente provarlo attraverso la definizione di limite?
uhm... a occhio:
[tex]lim_{x,y -> 0, y_0} \frac{sin (x^2-xy)}{|x|^\alpha} = lim_{x,y -> 0, y_0} \frac{x(x-y)}{|x|^\alpha} = lim_{x -> 0} \frac{x(x-y_0)}{|x|^\alpha} = 0 ?[/tex]
e quindi deduco i seguenti casi
[tex]\alpha = 1 => lim -> \pm y_0[/tex]
[tex]\alpha < 1 => lim -> 0^{\pm}[/tex]
[tex]\alpha > 1 => lm -> \pm \infty[/tex]
e quindi la funzione è continua lungo l'asse solo se [tex]\alpha < 1[/tex]
fatto di fretta. ma dovrebbe funzionare
[tex]lim_{x,y -> 0, y_0} \frac{sin (x^2-xy)}{|x|^\alpha} = lim_{x,y -> 0, y_0} \frac{x(x-y)}{|x|^\alpha} = lim_{x -> 0} \frac{x(x-y_0)}{|x|^\alpha} = 0 ?[/tex]
e quindi deduco i seguenti casi
[tex]\alpha = 1 => lim -> \pm y_0[/tex]
[tex]\alpha < 1 => lim -> 0^{\pm}[/tex]
[tex]\alpha > 1 => lm -> \pm \infty[/tex]
e quindi la funzione è continua lungo l'asse solo se [tex]\alpha < 1[/tex]
fatto di fretta. ma dovrebbe funzionare
La mia domanda a questo punto è: l'esercizio in questo modo è concluso? o attraverso la definizione di limite devo comunque provare che tale limite tende zero solo per valori di alfa minori di 1??? Grazie.
ma, dato che stai lavorando con una funzione di più variabili, deduco che questo esercizio di analisi 2 almeno.
anche io sto fando analisi 2 e la definizione di limite posso dire di averla usata solo 3-4 volte nella mia vita E solo in analisi 1.
quindi dal mio punto di vista l'esercizio è completo così.
però ripeto: l'ho fatto di fretta, magari c'è qualche altro valore di alpha che non ho visto.
anche io sto fando analisi 2 e la definizione di limite posso dire di averla usata solo 3-4 volte nella mia vita E solo in analisi 1.
quindi dal mio punto di vista l'esercizio è completo così.
però ripeto: l'ho fatto di fretta, magari c'è qualche altro valore di alpha che non ho visto.
"gedo1991":
La mia domanda a questo punto è: l'esercizio in questo modo è concluso? o attraverso la definizione di limite devo comunque provare che tale limite tende zero solo per valori di alfa minori di 1??? Grazie.
Come sempre se vuoi essere veramente rigoroso lo puoi far vedere attraverso la definizione, ma in linea di principio in un compito scritto quello che ha detto Ziel è sufficiente.
(OT)@Ziel: potresti tornare sulla discussione in cui hai deciso di smettere di rispondere e confermare al povero utente alec quanto ho detto? Te ne sei andato convinto di avere ragione e non hai assolutamente smentito quello che avevi detto. Pensa a quel povero studente che ora non sa nemmeno più a cosa credere..
(fine OT)
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