Problema con un'equazione differenziale
Salve, qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi nella ricerca dell'integrale di quest'equazione?
xy'=cos^2(xy)-y
grazie mille stefano
xy'=cos^2(xy)-y
grazie mille stefano
Risposte
Chiama $v=xy$; allora $v'=xy'+y$, e trovi un'equazione a variabili separabili.
Grazie mille del consiglio ora provo
"Luca.Lussardi":
Chiama $v=xy$; allora $v'=xy'+y$, e trovi un'equazione a variabili separabili.
forse ti sei sbagliato non dovrebbe essere $v'=xy'+yx'$?
La derivata di x rispetto ad x , cioè x' è 1 ; v = x* y(x) e se derivi v rispetto a x ottieni appunto quello che ha scritto Luca .
E' vero...
Ma come mi sono permesso di dire a Luca che aveva sbagliato?
Ma come mi sono permesso di dire a Luca che aveva sbagliato?
"eafkuor":
E' vero...
Ma come mi sono permesso di dire a Luca che aveva sbagliato?
Succedono cose mai viste
In effetti chiedo scusa, avrei dovuto essere più preciso e scrivere $xy(x)=v(x)$ da cui $v'(x)=...$
Grazie ancora..funziona perfettamente...avevo capito comunque che entrambe erano funzione della x per cui v' era giusto
Grazie mille stefano
Grazie mille stefano
Al di là della tecnica risolutiva più idonea per l’equazione differenziale proposta, un evidente dubbio sorge osservando l’equazione stessa…
$x*y’=cos^2(xy)-y$ (1)
Se nel dominio di esistenza della y è compreso anche il punto $x=0$, allora è immediato dalla (1) che deve essere necessariamente $y(0)=1$. Ora la domanda ovvia sarebbe la seguente: questo non è in contrasto con una delle condizioni di Cauchy relative ad una equazione del primo ordine, per cui dati $xo$ e $yo$ qualunque, esiste un integrale della (1) che soddisfa la condizione $yo=y(xo)$?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$x*y’=cos^2(xy)-y$ (1)
Se nel dominio di esistenza della y è compreso anche il punto $x=0$, allora è immediato dalla (1) che deve essere necessariamente $y(0)=1$. Ora la domanda ovvia sarebbe la seguente: questo non è in contrasto con una delle condizioni di Cauchy relative ad una equazione del primo ordine, per cui dati $xo$ e $yo$ qualunque, esiste un integrale della (1) che soddisfa la condizione $yo=y(xo)$?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Credo che per stabilire esistenza e unicità di eventuali soluzioni del problema di Cauchy, l'equazione debba essere messa nella forma :
$ y'(x) = f(x,y(x))$ e quindi nel caso specifico :
$y'(x) = ((cos(xy))^2 -y) /x $
il che escluderebbe di considerare $ x_0 = 0 $ in quanto esistenza e unicità della soluzione sono garantiti se $x_0,y_0 $ fanno parte del dominio di $f(x,y(x))$.
$ y'(x) = f(x,y(x))$ e quindi nel caso specifico :
$y'(x) = ((cos(xy))^2 -y) /x $
il che escluderebbe di considerare $ x_0 = 0 $ in quanto esistenza e unicità della soluzione sono garantiti se $x_0,y_0 $ fanno parte del dominio di $f(x,y(x))$.
Credi bene Camillo, il Teorema di esistenza ed unicità si applica a problemi della forma $y'=f(x,y)$.
[img]http://digilander.libero.it/luposabatini/yx[/img]
Immagino sia evidente a chiunque il fatto che la questione non può dipendere dalla maniera con la quale si scrive l’equazione. Il problema rimane identico anche se si scrive l’equazione differenziale in ‘forma canonica’, vale a dire…
$y’= (cos^2(xy)-y)/x$ (1)
L’osservazione da me fatta è relativa al fatto che, così com’è, non sono definiti nè il dominio della y(x) né le [cosiddette] ‘condizioni iniziali’. Risolvendo la (1) con la procedura già descritta in precedenza si arriva senza troppe difficoltà a trovare l’integrale generale in forma implicita…
$tan (xy) = x + c$ (2)
… nella quale c è la consueta ‘costante arbitraria’. Una rapida verifica applicando la regola di derivazione di funzione implicita consente di stabilire che la (2) soddisfa la (1) per qualunque valore della costante c. La (2) può poi essere facilmente esplicitata come segue…
$y(x) = (tan^(-1) (x+c))/x$ (3)
… e fin qui è tutto ok. Il problema sorge quando si determina il valore di c. In particolare ponendo $c=0$ [perché no!…] la soluzione diviene…
$y(x)= (tan^(-1) x)/x$ (4)
Come si vede dal grafico all'inizio del postato, la (4) è continua e derivabile su tutto l’asse delle x e in particolare anche per $x=0$. E’ evidente che a questo punto sorge il problema della corretta interpretazione delle condizioni di Cauchy. Queste stabiliscono che, data una equazione nella forma…
$y’= f(x,y)$ (5)
… con $f(x,y)$ definita entro una regione D dove è continua con le sue derivate parziali, se prendiamo un qualunque punto $xo$ all’interno di D esiste almeno una funzione $y(x)$ che soddisfa la (5) e in $xo$ vale $yo=y(xo)$. Ora è evidente che la funzione $f(x,y)$ che compare nella (1) in generale non è definita per $x=0$ e ciò non ostante si è trovata una soluzione imponendo proprio tale condizione. La domanda ovvia a questo punto è la seguente: le condizioni di Cauchy ora enunciate non sono ‘necessarie’ ma solamente ‘sufficienti’?…
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Immagino sia evidente a chiunque il fatto che la questione non può dipendere dalla maniera con la quale si scrive l’equazione. Il problema rimane identico anche se si scrive l’equazione differenziale in ‘forma canonica’, vale a dire…
$y’= (cos^2(xy)-y)/x$ (1)
L’osservazione da me fatta è relativa al fatto che, così com’è, non sono definiti nè il dominio della y(x) né le [cosiddette] ‘condizioni iniziali’. Risolvendo la (1) con la procedura già descritta in precedenza si arriva senza troppe difficoltà a trovare l’integrale generale in forma implicita…
$tan (xy) = x + c$ (2)
… nella quale c è la consueta ‘costante arbitraria’. Una rapida verifica applicando la regola di derivazione di funzione implicita consente di stabilire che la (2) soddisfa la (1) per qualunque valore della costante c. La (2) può poi essere facilmente esplicitata come segue…
$y(x) = (tan^(-1) (x+c))/x$ (3)
… e fin qui è tutto ok. Il problema sorge quando si determina il valore di c. In particolare ponendo $c=0$ [perché no!…] la soluzione diviene…
$y(x)= (tan^(-1) x)/x$ (4)
Come si vede dal grafico all'inizio del postato, la (4) è continua e derivabile su tutto l’asse delle x e in particolare anche per $x=0$. E’ evidente che a questo punto sorge il problema della corretta interpretazione delle condizioni di Cauchy. Queste stabiliscono che, data una equazione nella forma…
$y’= f(x,y)$ (5)
… con $f(x,y)$ definita entro una regione D dove è continua con le sue derivate parziali, se prendiamo un qualunque punto $xo$ all’interno di D esiste almeno una funzione $y(x)$ che soddisfa la (5) e in $xo$ vale $yo=y(xo)$. Ora è evidente che la funzione $f(x,y)$ che compare nella (1) in generale non è definita per $x=0$ e ciò non ostante si è trovata una soluzione imponendo proprio tale condizione. La domanda ovvia a questo punto è la seguente: le condizioni di Cauchy ora enunciate non sono ‘necessarie’ ma solamente ‘sufficienti’?…
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Certo che sono solo sufficienti e non necessarie, è noto che il Teorema di Cauchy non è un se e solo se.
Non si vede il grafico .
C'è qualche problema con l'inserimento di immagini... oppure è semplicemente carenza da parte mia... spero ora si veda...
cordiali saluti
lupo grigio
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cordiali saluti
lupo grigio
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OK, ora si vede !
"lupo grigio":
$y(x)= (tan^(-1) x)/x$ (4)
Come si vede dal grafico all'inizio del postato, la (4) è continua e derivabile su tutto l’asse delle x e in particolare anche per $x=0$.
Non è certo dal grafico di una funzione, in generale, che si deduce se è continua oppure no.
Nel caso specifico per $ x= 0 $ la funzione non è continua , in quanto neppur definita ( ricordo un vecchio post.. ) .
Infatti Camillo, mi era sfuggito "il solito" errore di lupo grigio.... la funzione data si può prolungare per continuità ad $x=0$, ma per come è scritta non è una funzione definita in $x=0$, di conseguenza nemmeno continua.
Per risolvere una volta per tutte la questione del 'solito errore di lupo grigio' quanto prima sarà aperto un apposito spazio 
...
Per concludere invece in questa sede l'interessante studio sulla equazione differenziale proposta da Stefano quello che si può affermare è che, almeno in questo caso particolare, vi è almeno una soluzione al di fuori dell'ambito strettamente delimitato dal teorema di Cauchy. In verità era già noto il fatto che una equazione differenziale può ammettere soluzioni 'fuori norma' e queste sono dette 'integrali singolari'. Tali soluzioni però di norma non si ottengono dall'integrale generale fissando il valori delle cosidette 'costanti arbitrarie', mentre in questo caso la 'soluzione speciale' [chiamiamola così...] si ottiene proprio in questo modo. Penso che la questione meriterebbe qualche ulteriore approfondimento...
cordiali saluti
lupo grigio
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...Per concludere invece in questa sede l'interessante studio sulla equazione differenziale proposta da Stefano quello che si può affermare è che, almeno in questo caso particolare, vi è almeno una soluzione al di fuori dell'ambito strettamente delimitato dal teorema di Cauchy. In verità era già noto il fatto che una equazione differenziale può ammettere soluzioni 'fuori norma' e queste sono dette 'integrali singolari'. Tali soluzioni però di norma non si ottengono dall'integrale generale fissando il valori delle cosidette 'costanti arbitrarie', mentre in questo caso la 'soluzione speciale' [chiamiamola così...] si ottiene proprio in questo modo. Penso che la questione meriterebbe qualche ulteriore approfondimento...
cordiali saluti
lupo grigio
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Tendo a ribadire che la funzione $y=(arctan(x))/x$ non è la soluzione del problema di Cauchy con dato $y(0)=1$; questa funzione non risulta definita in $x=0$, e tra l'altro non ha nemmeno senso porsi nel problema di Cauchy $y(0)=c$, dal momento che nemmeno $f(x,y)$ è definita in $x=0$. Tutte queste "scoperte" sono fatte a posteriori, non seguendo l'enunciato di un Teorema ben preciso.
Credo poi sia inutile aprire uno spazio per il tuo "solito errore", visto che non mi sembri molto disposto a riconoscere che sbagli; non voglio assolutamente essere polemico, ma credo che il tuo errore sia già stato sottolineato più volte e non solo da me. Come dicono: "errare è umano, ma perseverare è da diabolici".
Credo poi sia inutile aprire uno spazio per il tuo "solito errore", visto che non mi sembri molto disposto a riconoscere che sbagli; non voglio assolutamente essere polemico, ma credo che il tuo errore sia già stato sottolineato più volte e non solo da me. Come dicono: "errare è umano, ma perseverare è da diabolici".
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