Problema con una stima

[Nebula2]

avrei bisogno di una mano con una stima.
in primo luogo un bel po' di preliminari.

siamo in $[0,1]$, su cui poniamo la partizione $0=a_o
su ogni $[a_i, a_{i+1}]$ è definita una $f_i$ a valori in $[0,1]$.
$f_i in C^{1+epsilon}$.
$f_i$ è surriettiva su $[0,1]$ e tale che $|f'_i| leq lambda < 1$.
$f_0(0)=0$, $f_{n+1}(1)=1$.

sia $phi_i$ l'inversa di $f_i$.

si definisce poi la mappa di $[0,1]$ in sè come segue:
$Sx=f_i(x)$ se $x in (a_i, a_{i+1})$, $S0=0$, $S1=1$, $Sa_i=f(a_i)$.

sia $sigma=(sigma_i)_{i geq 0}$ una successione a valori interi da $0$ a $n$ ($sigma in {0,1,2,cdots,n}^N$).

sia $X(sigma) = cap_{i=0}^infty S^{-i}P_{sigma_i} in [0,1]$. (è ben definita)

dovrebbe essere tutto....


la stima che non capisco è la seguente:



$|log frac {phi'_{sigma_0}(X(sigma_1 sigma_2 cdots sigma_k 0 0 0 0 0 cdots))} {phi'_{sigma_0}(X(sigma_1 sigma_2 cdots sigma_{k-1} 0 0 0 0 0 cdots))}| leq ($inf$_{x in [0,1], sigma} |phi'_sigma(x)|)^{-1}


non ho proprio idea di come si veda...


ps. come si scrive l'inf?

[Nebula2]

sia nel post precedente che in questo è tutto l'inf a essere elevato alla -1.
il fatto che, siccome non so scrivere inf e sup, li scrivo come testo non mi fa comparire una parentesi tonda prima.

comunque, forse ho risolto.
si può vedere con il teorema di lagrange????


$|log frac {phi'_{sigma_0}(X(sigma_1 sigma_2 cdots sigma_k 0 0 0 0 0 cdots))} {phi'_{sigma_0}(X(sigma_1 sigma_2 cdots sigma_{k-1} 0 0 0 0 0 cdots))}| =
$=|log (phi'_{sigma_0}(X(sigma_1 sigma_2 cdots sigma_k 0 0 0 0 0 cdots))) - log (phi'_{sigma_0}(X(sigma_1 sigma_2 cdots sigma_{k-1} 0 0 0 0 0 cdots)))| leq
$ leq $sup$_{x,sigma} frac{1}{phi'_sigma(x)}|$sup$_{x,sigma} phi'_sigma(x) - $inf$_{x,sigma} phi'_o(x)|=
$ = $sup$_{x,sigma} frac{1}{phi'_sigma(x)}|1-lambda^{-1}| leq
$ leq $inf$_{x,sigma} |phi'_sigma(x)|)^{-1}