Problema con una progressione
Ciao a tutti, ho un problema con questa serie:
$$\sum_{k=1}^{n/2} {n \choose k} (1-p)^{k(n-k)}$$
Come risultato, deve venire che tende a zero. L'unica idea che ho è quella di usare la formula di Stirling con la quale posso approssimare $k! = (\frac{k}{e})^k$ (metto l'uguale perché non riesco a mettere il termine asintotico.)
Quindi ho $$\sum_{k=1}^{n/2} {n \choose k} (1-p)^{k(n-k)} \leq \sum_{k=1}^{n/2} \frac{(ne)^k}{k^k} (1-p)^{k(n-k)}$$
Non riesco a capire se sto già sbagliando qui. Se invece è giusto non so come procedere. pensavo di ricondurmi a una progressione geometrica ma ho la $k$ non solo all'esponente!
Grazie mille per l'aiuto
$$\sum_{k=1}^{n/2} {n \choose k} (1-p)^{k(n-k)}$$
Come risultato, deve venire che tende a zero. L'unica idea che ho è quella di usare la formula di Stirling con la quale posso approssimare $k! = (\frac{k}{e})^k$ (metto l'uguale perché non riesco a mettere il termine asintotico.)
Quindi ho $$\sum_{k=1}^{n/2} {n \choose k} (1-p)^{k(n-k)} \leq \sum_{k=1}^{n/2} \frac{(ne)^k}{k^k} (1-p)^{k(n-k)}$$
Non riesco a capire se sto già sbagliando qui. Se invece è giusto non so come procedere. pensavo di ricondurmi a una progressione geometrica ma ho la $k$ non solo all'esponente!
Grazie mille per l'aiuto
Risposte
Ciao,Monica,e benvenuta in questo Forum!
Venendo al tuo quesito,vediamo se ho capito:
vuoi verificare che $EElim_(n to oo) sum_{k=1}^{n} C_(2n,k) (1-p)^{k(2n-k)}=0$ $AA p in I=(0,1]$ ,
o che $EElim_(n to oo) sum_{k=1}^{[n/2]}C_(n,k)(1-p)^{k(n-k)}=0$ $AA p in I$?
In ambo i casi(tutto sommato simili..),fissato a piacere $bar(p) in I$ e $bar(q) in (1-bar(p),1) sube[0,1)$,magari ti son utili,
insieme al teorema dei due carabinieri,l'osservazione che $k(2n-k) le n^2$ $AA n,k in NN$ ed il noto teorema secondo cui $EElim_(n to oo)(a_(n+1))/(a_n)=l in[0,1) rArr EElim_(n to oo)a_n=0$
(dove $a_n$ è il termine generale d'una successione numerica che,in questo contesto,
intendiamo a termini tutti positivi anche se,per la validità di quel teoremino,bastano ipotesi meno restrittive..):
saluti dal web.
Venendo al tuo quesito,vediamo se ho capito:
vuoi verificare che $EElim_(n to oo) sum_{k=1}^{n} C_(2n,k) (1-p)^{k(2n-k)}=0$ $AA p in I=(0,1]$ ,
o che $EElim_(n to oo) sum_{k=1}^{[n/2]}C_(n,k)(1-p)^{k(n-k)}=0$ $AA p in I$?
In ambo i casi(tutto sommato simili..),fissato a piacere $bar(p) in I$ e $bar(q) in (1-bar(p),1) sube[0,1)$,magari ti son utili,
insieme al teorema dei due carabinieri,l'osservazione che $k(2n-k) le n^2$ $AA n,k in NN$ ed il noto teorema secondo cui $EElim_(n to oo)(a_(n+1))/(a_n)=l in[0,1) rArr EElim_(n to oo)a_n=0$
(dove $a_n$ è il termine generale d'una successione numerica che,in questo contesto,
intendiamo a termini tutti positivi anche se,per la validità di quel teoremino,bastano ipotesi meno restrittive..):
saluti dal web.
Grazie mille. Ti sembra quindi che così vada bene? (scusa ma sono un po' una frana con l'analisi!)
voglio dimostrare che, fissato $p \in [0,1]$ e quindi $q=1-p \in [0,1]$, $$lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}}{n \choose k} (1-p)^{k(n-k)}=0.$$
Grazie alla formula di Stirling posso approssimare $k!$ con $(\frac{k}{e})^k$ quindi $${n \choose k} \leq \frac{n^k}{(\frac{k}{e})^k},$$ ottenendo
$$lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}}{n \choose k} (1-p)^{k(n-k)} \leq lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \frac{(ne)^k}{k^k} (q)^{k(n-k)}.$$
Ora osservo che
1)$k(n-k) \leq n^2, \forall n,k \in \mathbf{N};$
2)$k \leq n$
quindi
$$lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \frac{(ne)^k}{k^k} (q)^{k(n-k)} \leq lim_{n \rightarrow \infty} q^{n^2} \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \frac{n^k}{n^k}e^k.$$
Ma posso semplificare ottenendo una serie geometrica: $\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} e^k= \frac{e-e^{\frac{n}{2}+1}}{1-e}.$
Usando infine il teorema che mi hai citato ottengo che il limite è uguale a zero.
Funziona?
voglio dimostrare che, fissato $p \in [0,1]$ e quindi $q=1-p \in [0,1]$, $$lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}}{n \choose k} (1-p)^{k(n-k)}=0.$$
Grazie alla formula di Stirling posso approssimare $k!$ con $(\frac{k}{e})^k$ quindi $${n \choose k} \leq \frac{n^k}{(\frac{k}{e})^k},$$ ottenendo
$$lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}}{n \choose k} (1-p)^{k(n-k)} \leq lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \frac{(ne)^k}{k^k} (q)^{k(n-k)}.$$
Ora osservo che
1)$k(n-k) \leq n^2, \forall n,k \in \mathbf{N};$
2)$k \leq n$
quindi
$$lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \frac{(ne)^k}{k^k} (q)^{k(n-k)} \leq lim_{n \rightarrow \infty} q^{n^2} \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} \frac{n^k}{n^k}e^k.$$
Ma posso semplificare ottenendo una serie geometrica: $\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} e^k= \frac{e-e^{\frac{n}{2}+1}}{1-e}.$
Usando infine il teorema che mi hai citato ottengo che il limite è uguale a zero.
Funziona?
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