Problema con una forma indeterminata!

[Serxe]

Salve! Non riesco a risolvere il seguente limite:

$lim_(x->oo) (sqrt(x^3+x)-sqrt(x^3+1))/(ln(1+1/sqrtx))$

Io ho provato ad antirazionalizzare, in modo da ottenere:

$lim_(x->oo) (x-1)/((sqrt(x^3+x)+sqrt(x^3+1))*ln(1+1/sqrtx))$

Ma arrivato a questo punto non so cosa fare, pensavo di usare gli sviluppi di Taylor per "togliere" il logaritmo che da abbastanza fastidio ma non arrivo da nessuna parte lo stesso!

Qualcuno mi può illuminare? Grazie

EDIT: Mentre rileggevo quello che avevo scritto ho avuto una mezza illuminazione! Ora, dato che non ho il risultato, vorrei sapere se il metodo seguito è giusto!

Praticamente ho riscritto il tutto come:

$lim_(x->oo) (1-1/x)/((sqrt(1/x^2+1)+sqrt(1/x^3+1))*sqrtx*(1/sqrtx+o(1/sqrtx)))$

Ho raccolto x sia al numeratore che al denominatore (dalle radici, ho tirato fuori $x^2$ da entrambe) e semplificato, poi ho moltiplicato il denominatore per $sqrtx/sqrtx$.
La radice al numeratore (parlo del numeratore di $sqrtx/sqrtx$) l'ho moltiplicata per lo sviluppo del logaritmo (in modo da semplificarlo ed ottenere 1) mentre quella al denominatore l'ho moltiplicata per le radici, così da eliminare la forma indeterminata che avevo ad entrambe.
Poi mi è bastato sostituire $oo$ ad x per ottenere $1/2$ come risultato!

[Lorin1]

Non mi trovo col tuo ragionamento, hai fatto dei cambi di variabili non corretti. Infatti la tua variabile $x->oo$, quando dici di aver avuto l'illuminazione passi ad $1/x$, così il numeratore non tende più ad $oo$, ma a $1$ O.o

Secondo me , comunque ti stai complicando la vita, perchè il numeratore lo puoi lasciare così com'è dopo la razionalizzazione, mentre per il denominatore puoi ragionare così $(root(2)(x^3+x)+root(3)(x^3+1))1/(root(2)(x)) \approx 2root(2)(x^3)$
dunque il tuo limite iniziale diventa $lim_(x->oo)(root(2)(x)(x-1))/(2root(2)(x^3))=1/2$