Problema con un lmite

[shaducci]

Il limite è il seguente. Conosco il risultato ma non ho idea su come io possa arrivarci. Il mio risultato parziale è $0/0$ e nonostante mille processi algebrici non riesco a scastrarmi da questa forma di indeterminazione. Considerando che non posso utilizzare neanche de l'Hopital non so come proeguire:

$\lim_{x \to \infty}((x^2+1)/(3x^4-x)sin(1/x))/( \sqrt( (x^3-2)/x^3) -1)$


Assodato il primo passaggio sul seno utilizzando il limite notevole, è evidente che il numeratore tende a 0, così come il denominatore. (1 è il risultato della radice).

Ho provato queste strade:

Semplificazione: non mi ha portato da nessuna strada
Razionalizzazione: Ha semplicemente causato una maggior difficoltà nei miei calcoli ma alla fine il risultato è stato sempre quello $0/0$

[Seneca1]

Mi spieghi perché il denominatore dovrebbe tendere a $0$?

[@melia]

L'ho elaborato così

$\lim_{x \to \infty}((x^2+1)/(3x^4-x)sin(1/x)/(1/x)1/x(\sqrt( (x^3-2)/x^3) +1))/( ( (x^3-2)/x^3) -1)=$
$=\lim_{x \to \infty}(sin(1/x)/(1/x)(x^2+1)/(3x^4-x)1/x(\sqrt( (x^3-2)/x^3) +1))/( (x^3-2)/x^3 -1)=$
$=\lim_{x \to \infty}sin(1/x)/(1/x)(\sqrt( (x^3-2)/x^3) +1)((x^2+1)/(3x^2-1/x)1/x^3)/( (x^3-2-x^3)/x^3 )=$
$=\lim_{x \to \infty}sin(1/x)/(1/x)(\sqrt( (x^3-2)/x^3) +1)((x^2+1)/(3x^2-1/x)1/x^3 x^3)/( -2 )=1*2*(1/3)/(-2)=-1/3$

[Seneca1]

Attenta Amelia. Il limite è $0$, e non si presenta in forma indeterminata.

[cenzo1]

"Seneca":Mi spieghi perché il denominatore dovrebbe tendere a $0$?

Forse non vedi bene la radice al denominatore. Prima capitava anche a me, poi ho trovato nei vari post il suggerimento di installare i font STIX (se ricordo bene).

Potrebbe andar bene anche così?
[tex]\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{x}^{2}}+1}{3{{x}^{4}}-x}\sin \left( \frac{1}{x} \right)}{\sqrt{\frac{{{x}^{3}}-2}{{{x}^{3}}}}-1}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{x}^{2}}+1}{3{{x}^{4}}-x}\cdot \frac{1}{x}}{{{\left( 1-\frac{2}{{{x}^{3}}} \right)}^{1/2}}-1}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{x}^{2}}+1}{3{{x}^{4}}-x}\cdot \frac{1}{x}}{-\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{{{x}^{3}}}}=-\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}}{3{{x}^{4}}-x}=-\frac{1}{3}[/tex]

[Seneca1]

"cenzo":[quote="Seneca"]Mi spieghi perché il denominatore dovrebbe tendere a $0$?

Forse non vedi bene la radice al denominatore. Prima capitava anche a me, poi ho trovato nei vari post il suggerimento di installare i font STIX (se ricordo bene).

Potrebbe andar bene anche così?
[tex]\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{x}^{2}}+1}{3{{x}^{4}}-x}\sin \left( \frac{1}{x} \right)}{\sqrt{\frac{{{x}^{3}}-2}{{{x}^{3}}}}-1}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{x}^{2}}+1}{3{{x}^{4}}-x}\cdot \frac{1}{x}}{{{\left( 1-\frac{2}{{{x}^{3}}} \right)}^{1/2}}-1}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{x}^{2}}+1}{3{{x}^{4}}-x}\cdot \frac{1}{x}}{-\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{{{x}^{3}}}}=-\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}}{3{{x}^{4}}-x}=-\frac{1}{3}[/tex][/quote]


Ah, scusate. Così quadra tutto.

[shaducci]

Potete spiegarmi i passaggi?...

[@melia]

Se guardi il mio calcolo i passaggi ci sono tutti.