Problema con un limite
ciao a tutti!!!
stavo facendo alcuni esercizi sui limiti finché sono incappato in questo:
$lim_(x->+infty)root(4)(x^3+1)/(sqrt(x^3))$
so che è molto semplice come esercizio, infatti anche se si presenta nella forma indeterminata $infty/infty$ si può subito notare che il risultato è zero, dato che il grado del denominatore è più alto di quello del numeratore, il problema però mi è sorto nel momento in cui ho provato a risolvere l'esercizio senza "l'aiuto" del confronto tra infiniti, infatti non riesco a togliere la forma di indecisione, il problema me lo danno le radici, come dovrei procedere?
grazie mille a tutti anticipatamente.
stavo facendo alcuni esercizi sui limiti finché sono incappato in questo:
$lim_(x->+infty)root(4)(x^3+1)/(sqrt(x^3))$
so che è molto semplice come esercizio, infatti anche se si presenta nella forma indeterminata $infty/infty$ si può subito notare che il risultato è zero, dato che il grado del denominatore è più alto di quello del numeratore, il problema però mi è sorto nel momento in cui ho provato a risolvere l'esercizio senza "l'aiuto" del confronto tra infiniti, infatti non riesco a togliere la forma di indecisione, il problema me lo danno le radici, come dovrei procedere?
grazie mille a tutti anticipatamente.
Risposte
Hai provato a mettere in evidenza [tex]$x^3$[/tex] nel radicando al numeratore e ad applicare le proprietà delle potenze?
si ho provato, ma poi mi da come risultato 1
sarò confuso ma non capisco dove sbaglio,
sarò confuso ma non capisco dove sbaglio,

riporta i tuoi passaggi così vediamo dove sbagli.
forse ho capito dove sbagliavo, vediamo se così va bene:
$lim_(x->infty)root(4)(x^3+1)/sqrt(x^3)" "=" "root(4)(x^3(1+1/x^3))/sqrt(x^3)" "=" "root(8)(x^6)/root(8)(x^12)root(4)(1+1/x^3)" "=" "root(4)(1+1/x^3)/root(4)|x|^3" "=" "0$
giusto?
$lim_(x->infty)root(4)(x^3+1)/sqrt(x^3)" "=" "root(4)(x^3(1+1/x^3))/sqrt(x^3)" "=" "root(8)(x^6)/root(8)(x^12)root(4)(1+1/x^3)" "=" "root(4)(1+1/x^3)/root(4)|x|^3" "=" "0$
giusto?

Ti elaboro solo la funzione usando il suggerimento di gugo82:
$root(4)(x^3+1)/sqrt(x^3)" "=" "root(4)(x^3(1+1/x^3))/sqrt(x^3)" "=" "root(4)(x^3)/sqrt(x^3)" "root(4)(1+1/x^3)" "=" "root(4)(x^3)/root(4)(x^6)" "root(4)(1+1/x^3)$
nell'ultimo passaggio ho moltiplicato per 2 indice della radice e potenza del radicando al denominatore.
Adesso metti la frazione sotto un'unica radice e semplifica
$root(4)(x^3/x^6)" "root(4)(1+1/x^3)" "=" "root(4)(1/x^3)" "root(4)(1+1/x^3)$
e una volta che fai il limite per $x->oo$ i due termini $1/x^3$ tendono a $0$ (senza scomodare valori assoluti) perciò il risultato è $root(4)(0)*root(4)(1)=0$
$root(4)(x^3+1)/sqrt(x^3)" "=" "root(4)(x^3(1+1/x^3))/sqrt(x^3)" "=" "root(4)(x^3)/sqrt(x^3)" "root(4)(1+1/x^3)" "=" "root(4)(x^3)/root(4)(x^6)" "root(4)(1+1/x^3)$
nell'ultimo passaggio ho moltiplicato per 2 indice della radice e potenza del radicando al denominatore.
Adesso metti la frazione sotto un'unica radice e semplifica
$root(4)(x^3/x^6)" "root(4)(1+1/x^3)" "=" "root(4)(1/x^3)" "root(4)(1+1/x^3)$
e una volta che fai il limite per $x->oo$ i due termini $1/x^3$ tendono a $0$ (senza scomodare valori assoluti) perciò il risultato è $root(4)(0)*root(4)(1)=0$
grazie mille, non so perché avevo moltiplicato tutto, mi ero confuso.
Grazie mille ancora...
Grazie mille ancora...