Problema con un limite

[rapstyle]

Allora io ho:
$ lim_(x -> oo ) x(x-1-sqrt(x^2-2x)) $
per risolverlo ho fatto così:
$ lim_(x -> oo) x(x-1-sqrt(x^2(1-2/x))) $
$ lim_(x -> oo) x(x-1-x) $
$ lim_(x -> oo) x(-1)= -oo $
pensavo fosse giusto..
ma online ho visto che dovrebbe dare 1/2..
cos'ho sbagliato??

[Seneca1]

"rapstyle":Allora io ho:
$ lim_(x -> oo ) x(x-1-sqrt(x^2-2x)) $
per risolverlo ho fatto così:
$ lim_(x -> oo) x(x-1-sqrt(x^2(1-2/x))) $
$ lim_(x -> oo) x(x-1-x) $
$ lim_(x -> oo) x(-1)= -oo $
pensavo fosse giusto..
ma online ho visto che dovrebbe dare 1/2..
cos'ho sbagliato??

$ lim_(x -> oo) x(x-1- sqrt(x^2(1-2/x))) $

$ lim_(x -> oo) x(x-1- |x| sqrt(1-2/x)) $

$ lim_(x -> oo) x(x-1- x * sqrt(1-2/x)) $

E qui sbagli.. Infatti non puoi considerare $sqrt(1-2/x)$ come $1$, per poi semplificare $x$ con $-x$.

[@melia]

Quando calcoli un limite non puoi mandare al limite un pezzo solo, devi portare tutto al limite contemporaneamente, inoltre
$ lim_(x -> oo) x(x-1-sqrt(x^2(1-2/x)))= lim_(x -> oo) x(x-1-|x|sqrt((1-2/x))) $ e il calcolo dipende dal segno dell'infinito.

[K.Lomax]

Ti indico la strada. Cerca di arrivare ad una forma tale da poter utilizzare il seguente limite notevole:

[tex]\lim_{x \to 0}\dfrac{(1+x)^a-1}{x}=a[/tex]

[Seneca1]

"Seneca":

E qui sbagli.. Infatti non puoi considerare $sqrt(1-2/x)$ come $1$, per poi semplificare $x$ con $-x$.

@melia, secondo te, una giustificazione di ciò potrebbe essere la seguente?

$lim_(x -> oo) (sqrt(x^2-2x))/x = 1$

$(sqrt(x^2-2x))/x = 1 + omega(x)$ con $omega(x) -> 0$ per $x -> oo$

$sqrt(x^2-2x) = x + x*omega(x)$

Ma $x * omega(x)$ è una forma indeterminata per $x ->oo$.

Quindi bisogna stare attenti a sostituire: $sqrt(x^2-2x) sim x $

Che dite?

[enrico911]

considera solo $ (n-1-root(2)(n^2-2n) ) $ moltiplichi sopra e sotto per $ n-1+root(2)(n^2-2n) $ se non sbaglio, eseguendo i calcoli, ottieni $ 1/(n-1+root(2)(n^2-2n)) $
Ora conisdera tutto il limite:
$ lim_(n -> +∞) n(1/(n-1+root(2)(n^2-2n)) ) $ al denominatore raccogli n e dovresti ottenere 1/2

[rapstyle]

sul esercizio credo che sia infinito positivo perchè non c'è il meno prima..
quindi calcolavo che $ 2/oo $ tendesse a 0 e quindi sotto radice restava solo 1..
quindi mi dite che questo ragionamento è sbagliato? perchè fino ad ora ho sempre fatto così..
ora vedo se riesco ad arrivare alla soluzione di K.Lomax

[rapstyle]

"enrico91":considera solo $ (n-1-root(2)(n^2-2n) ) $ moltiplichi sopra e sotto per $ n-1+root(2)(n^2-2n) $ se non sbaglio, eseguendo i calcoli, ottieni $ 1/(n-1+root(2)(n^2-2n)) $
Ora conisdera tutto il limite:
$ lim_(n -> +∞) n(1/(n-1+root(2)(n^2-2n)) ) $ al denominatore raccogli n e dovresti ottenere 1/2

quindi faccio così:
$ lim_(x->+oo) x(x-1-sqrt(x^2-2x))(x-1+sqrt(x^2-2x))/(x-1+sqrt(x^2-2x)) $
$ lim_(x->+oo) x(x^2-2x+1-x^2+2x)/(x-1+sqrt(x^2(1-2/x))) $
ora calcolando che 2/x con x che tende a + infinito tende a 0 posso toglierlo e continuare così?
$ lim_(x->+oo) x(1/(x-1+|x|)) $
ora essendo + infinito "tolgo" il valore assoluto e resta x
$ lim_(x->+oo) x/(2x-1)$
$ lim_(x->+oo) x/(x(2-1/x)) $
con lo stesso ragionamento sopra continuo
trovo che il risultato è 1/2

è corretto??

[enrico911]

"rapstyle":[quote="enrico91"]considera solo $ (n-1-root(2)(n^2-2n) ) $ moltiplichi sopra e sotto per $ n-1+root(2)(n^2-2n) $ se non sbaglio, eseguendo i calcoli, ottieni $ 1/(n-1+root(2)(n^2-2n)) $
Ora conisdera tutto il limite:
$ lim_(n -> +∞) n(1/(n-1+root(2)(n^2-2n)) ) $ al denominatore raccogli n e dovresti ottenere 1/2

quindi faccio così:
$ lim_(x->+oo) x(x-1-sqrt(x^2-2x))(x-1+sqrt(x^2-2x))/(x-1+sqrt(x^2-2x)) $
$ lim_(x->+oo) x(x^2-2x+1-x^2+2x)/(x-1+sqrt(x^2(1-2/x))) $
ora calcolando che 2/x con x che tende a + infinito tende a 0 posso toglierlo e continuare così?
$ lim_(x->+oo) x(1/(x-1+|x|)) $
ora essendo + infinito "tolgo" il valore assoluto e resta x
$ lim_(x->+oo) x/(2x-1)$
$ lim_(x->+oo) x/(x(2-1/x)) $
con lo stesso ragionamento sopra continuo
trovo che il risultato è 1/2

è corretto??[/quote]


qua sbagli. Non puoi eliminare la radice quadrata
$ lim_(x->+oo) x(1/(x-1+|x|)) $
il valore assoluto in questo caso non è necessario visto che è una radice quadrata. Raccogliendo x ottieni
$ lim_(x->+oo) x(1/(x(1-1/x+sqrt(1-2/x)))) $
dividi le 2 x
$ lim_(x->+oo) (1/(1-1/x+sqrt(1-2/x))) $
adesso con x ->+oo al denominatore hai
$ lim_(x->+oo) (1/(1-0+sqrt(1-0))) $
1/2
spero sia chiaro

[rapstyle]

"enrico91":[quote="rapstyle"][quote="enrico91"]considera solo $ (n-1-root(2)(n^2-2n) ) $ moltiplichi sopra e sotto per $ n-1+root(2)(n^2-2n) $ se non sbaglio, eseguendo i calcoli, ottieni $ 1/(n-1+root(2)(n^2-2n)) $
Ora conisdera tutto il limite:
$ lim_(n -> +∞) n(1/(n-1+root(2)(n^2-2n)) ) $ al denominatore raccogli n e dovresti ottenere 1/2

quindi faccio così:
$ lim_(x->+oo) x(x-1-sqrt(x^2-2x))(x-1+sqrt(x^2-2x))/(x-1+sqrt(x^2-2x)) $
$ lim_(x->+oo) x(x^2-2x+1-x^2+2x)/(x-1+sqrt(x^2(1-2/x))) $
ora calcolando che 2/x con x che tende a + infinito tende a 0 posso toglierlo e continuare così?
$ lim_(x->+oo) x(1/(x-1+|x|)) $
ora essendo + infinito "tolgo" il valore assoluto e resta x
$ lim_(x->+oo) x/(2x-1)$
$ lim_(x->+oo) x/(x(2-1/x)) $
con lo stesso ragionamento sopra continuo
trovo che il risultato è 1/2

è corretto??[/quote]


qua sbagli. Non puoi eliminare la radice quadrata
$ lim_(x->+oo) x(1/(x-1+|x|)) $
il valore assoluto in questo caso non è necessario visto che è una radice quadrata. Raccogliendo x ottieni
$ lim_(x->+oo) x(1/(x(1-1/x+sqrt(1-2/x)))) $
dividi le 2 x
$ lim_(x->+oo) (1/(1-1/x+sqrt(1-2/x))) $
adesso con x ->+oo al denominatore hai
$ lim_(x->+oo) (1/(1-0+sqrt(1-0))) $
1/2
spero sia chiaro [/quote]

uff ho quella brutta abitudine di cancellare la radice perchè calcolo quanto verrebbe sotto.. stessa cosa con 2/x che viene 0 ad esempio
comunque si capito tutto grazie..