Problema con un limite
Salve a tutti,
mi trovo di fronte a questo limite:
$lim(x->0)(e^arctgx-sin(log(x+1))-1-x^2)/((1+x)^3-1-e^(x)sin(3x))$
Riguardo soltanto al numeratore la mia domanda è: al momento di approssimare le figure note a polinomi di taylor devo necessariamente svilupparle TUTTE allo stesso ordine oppure no?
Non riesco proprio a capire..
grazie anticipatamente
mi trovo di fronte a questo limite:
$lim(x->0)(e^arctgx-sin(log(x+1))-1-x^2)/((1+x)^3-1-e^(x)sin(3x))$
Riguardo soltanto al numeratore la mia domanda è: al momento di approssimare le figure note a polinomi di taylor devo necessariamente svilupparle TUTTE allo stesso ordine oppure no?
Non riesco proprio a capire..
grazie anticipatamente
Risposte
"Mikepicker":
Salve a tutti,
mi trovo di fronte a questo limite:
$lim(x->0)(e^arctgx-sin(log(x+1))-1-x^2)/((1+x)^3-1-e^(x)sin(3x))$
Riguardo soltanto al numeratore la mia domanda è: al momento di approssimare le figure note a polinomi di taylor devo necessariamente svilupparle TUTTE allo stesso ordine oppure no?
Non riesco proprio a capire..
grazie anticipatamente
Teoricamente sì...
potreste spiegarmi un modo standard di procedere in questi casi?
"Mikepicker":
potreste spiegarmi un modo standard di procedere in questi casi?
Che io sappia non esiste un modo standard, se non quello di sviluppare "fino all'ordine che serve"...
Tu di cosa hai bisogno?
Il mio dubbio risiede in questi tipi di esercizi.. ho uno sviluppo dentro uno sviluppo. Non capisco se devo sviluppare allo stesso ordine sia quello interno che quello esterno oppure se devo sviluppare ad esempio quello più esterno ad un ordine mentre quello interno ad un altro... ho davvero tanta confusione in testa
Mmmm, è venuto un dubbio anche a me.
Ad esempio, proviamo a sviluppare $e^arctgx$ in un intorno di $x_0=0$.
Tengo conto che: $arctg x= x-x^3/3+o(x^3) " per " x to 0$ e $e^t=1+t+t^2/2+o(t^2) " per " t to 0$.
Devo combinare qualche casino con l'o piccolo.
Scrivo così:
$e^arctgx=e^(x-x^3/3+o(x^3))=1+(x-x^3/3+o(x^3))+1/2(x-x^3/3+o(x^3))^2+o((x-x^3/3+o(x^3))^2)=$
$=1+x-x^3/3+o(x^3)+1/2x^2+o((x-x^3/3+o(x^3))^2)$
dove, sviluppando il quadrato ho tralasciato i termini di grado maggiore al terzo, perchè si sono assorbiti nell'$o(x^3)$.
Adesso però come semplifico quell'o-piccolo finale?
In poche parole, a che cosa è uguale $o((x-x^3/3+o(x^3))^2)=o(x^2+x^6/9-(2x^4)/3+o(x^6))= " ? "$
Grazie a chi chiarirà anche i miei dubbi.
Ad esempio, proviamo a sviluppare $e^arctgx$ in un intorno di $x_0=0$.
Tengo conto che: $arctg x= x-x^3/3+o(x^3) " per " x to 0$ e $e^t=1+t+t^2/2+o(t^2) " per " t to 0$.
Devo combinare qualche casino con l'o piccolo.
Scrivo così:
$e^arctgx=e^(x-x^3/3+o(x^3))=1+(x-x^3/3+o(x^3))+1/2(x-x^3/3+o(x^3))^2+o((x-x^3/3+o(x^3))^2)=$
$=1+x-x^3/3+o(x^3)+1/2x^2+o((x-x^3/3+o(x^3))^2)$
dove, sviluppando il quadrato ho tralasciato i termini di grado maggiore al terzo, perchè si sono assorbiti nell'$o(x^3)$.
Adesso però come semplifico quell'o-piccolo finale?
In poche parole, a che cosa è uguale $o((x-x^3/3+o(x^3))^2)=o(x^2+x^6/9-(2x^4)/3+o(x^6))= " ? "$
Grazie a chi chiarirà anche i miei dubbi.
"Paolo90":
Adesso però come semplifico quell'o-piccolo finale?
In poche parole, a che cosa è uguale $o((x-x^3/3+o(x^3))^2)=o(x^2+x^6/9-(2x^4)/3+o(x^6))= " ? "$
Grazie a chi chiarirà anche i miei dubbi.
Per le proprietà dell'o-piccolo:
$o(x^2+x^6/9-(2x^4)/3+o(x^6)) = o( x^2 + o(x^2)) = o(x^2)$
Potete risolvere il limite interamente?
"Seneca":
Per le proprietà dell'o-piccolo:
$o(x^2+x^6/9-(2x^4)/3+o(x^6)) = o( x^2 + o(x^2)) = o(x^2)$
Ho capito, Seneca; ti ringrazio molto.
Questo comunque mi dice che non basta lo sviluppo di sopra, mi frega l'$o(x^2)$ perchè si mangia tutti i termini di grado maggiore al secondo (e tanti saluti allo sviluppo
). La proprietà generale è $o(x^n+o(x^n))=o(x^n)$?
Grazie ancora.
"Mikepicker":
Potete risolvere il limite interamente?
Che ne dici di cominciare tu a riportare i tuoi conti? Noi così ripartiamo da quelli... e li correggiamo qualora fossero errati.
@Paolo:
Qualche tempo fa ho trovato la seguente tabellina su un libro; potrebbe esserti utile?
Qualche tempo fa ho trovato la seguente tabellina su un libro; potrebbe esserti utile?
Oh, gentilissimo, Seneca. Davvero.
Disponevo di una tabella del genere, ma non così completa. Davvero, grazie mille per averla postata.
Ti sono debitore. Gratias tibi ago.
Grazie ancora.
Disponevo di una tabella del genere, ma non così completa. Davvero, grazie mille per averla postata.
Ti sono debitore. Gratias tibi ago.
Grazie ancora.
Spero siano giuste... Sarebbero di facile dimostrazione, ma non ho mai avuto voglia di verificarle tutte. 
Però, sai com'è, per il principio di autorità...
Però, sai com'è, per il principio di autorità...
[OT]
Be', si potrebbe fare qua sul forum, che dici?
Se sei d'accordo, possiamo aprire un altro topic in cui ne discutiamo con calma e proponiamo qualche dim delle relazioni della tabella... se non si è da soli si fa prima, si impara di più (e ci si diverte di più ).
Che ne dici?
[/OT]
"Seneca":
Spero siano giuste... Sarebbero di facile dimostrazione, ma non ho mai avuto voglia di verificarle tutte.
Però, sai com'è, per il principio di autorità...
Be', si potrebbe fare qua sul forum, che dici?
Se sei d'accordo, possiamo aprire un altro topic in cui ne discutiamo con calma e proponiamo qualche dim delle relazioni della tabella... se non si è da soli si fa prima, si impara di più (e ci si diverte di più
).Che ne dici?
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