Problema con un limite
Ciao ragazzi, oggi ho avuto a che fare con un limite che inizialmente mi è sembrato banale ma che non sono riuscito a risolvere... Il limite è:
$ lim_(x->0) (sin(x)-xcos(x))/(xsen(x^2) $
Io ho pensato di utilizzare il teorema di De L'Hopital dato che ricado in una forma indeterminata del tipo $ [0/0] $ , allora ho provato a calcolare la derivata della funzione applicando la regola di derivazione del quoziente $ (p(x))/(q(x))=(p'(x)q(x)-p(x)q'(x))/[q(x)]^2 $ ma forse è proprio calcolando la derivata che sbaglio, perchè a me viene:
$ {[cos(x)-(cos(x)+x(-sen(x)))][xsen(x)]-[sen(x)-xcos(x)][sen(x^2)+xcos(x^2)+2x]}/(x^2sen^2(x^2) $
il che mi sembra strano
Sapete per caso aiutarmi per arrivare a finire questo esercizio???
$ lim_(x->0) (sin(x)-xcos(x))/(xsen(x^2) $
Io ho pensato di utilizzare il teorema di De L'Hopital dato che ricado in una forma indeterminata del tipo $ [0/0] $ , allora ho provato a calcolare la derivata della funzione applicando la regola di derivazione del quoziente $ (p(x))/(q(x))=(p'(x)q(x)-p(x)q'(x))/[q(x)]^2 $ ma forse è proprio calcolando la derivata che sbaglio, perchè a me viene:
$ {[cos(x)-(cos(x)+x(-sen(x)))][xsen(x)]-[sen(x)-xcos(x)][sen(x^2)+xcos(x^2)+2x]}/(x^2sen^2(x^2) $
il che mi sembra strano
Sapete per caso aiutarmi per arrivare a finire questo esercizio???
Risposte
No, no, no ... rileggiti cosa dice il teorema ... se ricorrono le condizioni per l'applicabilità allora puoi sostituire il rapporto tra le due funzioni con il rapporto tra le loro derivate cioè invece del limite di $(p(x))/(q(x))$ puoi calcolarti il limite di $(p'(x))/(q'(x))$ ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Penso di aver capito lo stupido errore che ho fatto... ho calcolato la derivata considerando un unica funzione invece di due (numeratore e denominatore)... 
Ho ricalcolato le derivate (e controllato il teo. di De L'Hopital, che si può applicare), stavolta dovrebbe essere corretto: $ lim_(x->0) (xsin(x))/(sin(x^2)+2x^2cos(x^2)) $ giusto? Solo che il problema rimane, perchè ora non so come continuare 
Ho ricalcolato le derivate (e controllato il teo. di De L'Hopital, che si può applicare), stavolta dovrebbe essere corretto: $ lim_(x->0) (xsin(x))/(sin(x^2)+2x^2cos(x^2)) $ giusto? Solo che il problema rimane, perchè ora non so come continuare
Il calcolo è quasi giusto ... a occhio, mi pare che applicando nuovamente De L'Hopital arrivi a meta ...
Ho provato a rifarlo ma ricado ancora in una forma 0/0... però proprio in questo momento ho provato a calcolarlo usando le formule di MacLaurin e sono arrivato alla soluzione, che è 1/3.. quindi probabilmente era sbagliato il metodo scelto, anche se De L'Hopital si può applicare la risoluzione è più veloce con le formule di mclaurin :p
Che sia più rapido, mah ... comunque ti consiglierei di risolverlo con De L'Hopital come esercizio ... il numeratore sarà ancora nullo ma il denominatore avrà due termini con il coseno entrambi positivi e un altro nullo quindi ...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo