Problema con un integrale
Ciao a tutti.
Devo risolvere il seguente integrale doppio:
$\int int x^2 dxdy$ nel dominio $E={(x,y) epsilon R^2: x^2+y^2<=2,x>=1}$
Per risolverlo uso le coordinate polari e determino che gli estremi di integrazione sono $1/cos(theta)<=rho<=sqrt(2) $ e $\ -pi/4<=theta<=pi/4$
L'integrale verrà il seguente:
$\int_{-pi/4}^{pi/4}int_{1/cos(theta)}^{sqrt(2)} rho^2*cos^2(theta)*rho d(rho) d(theta)$
$\int_{-pi/4}^{pi/4} cos^2(theta)[rho^4/4] d(theta)$
con $\rho$ calcolata nei precedenti estremi arrivo ad avere la forma :
$\int_{-pi/4}^{pi/4} cos^2(theta)-1/(4*cos^2(theta)) d(theta)$
Il problema è che non so proprio come risolvere il successivo integrale, ho provato in vari modi ma non riesco a capire come ricavare l'integrale di $\cos^2 (theta)$ senza avere la primitiva $\sin(theta)$
Ringrazio in anticipo per le risposte.
Devo risolvere il seguente integrale doppio:
$\int int x^2 dxdy$ nel dominio $E={(x,y) epsilon R^2: x^2+y^2<=2,x>=1}$
Per risolverlo uso le coordinate polari e determino che gli estremi di integrazione sono $1/cos(theta)<=rho<=sqrt(2) $ e $\ -pi/4<=theta<=pi/4$
L'integrale verrà il seguente:
$\int_{-pi/4}^{pi/4}int_{1/cos(theta)}^{sqrt(2)} rho^2*cos^2(theta)*rho d(rho) d(theta)$
$\int_{-pi/4}^{pi/4} cos^2(theta)[rho^4/4] d(theta)$
con $\rho$ calcolata nei precedenti estremi arrivo ad avere la forma :
$\int_{-pi/4}^{pi/4} cos^2(theta)-1/(4*cos^2(theta)) d(theta)$
Il problema è che non so proprio come risolvere il successivo integrale, ho provato in vari modi ma non riesco a capire come ricavare l'integrale di $\cos^2 (theta)$ senza avere la primitiva $\sin(theta)$
Ringrazio in anticipo per le risposte.
Risposte
l'integrale di coseno quadro non è difficilissimo. Tuttavia non sono molto pratico degli integrali doppi e gradirei tu mi spiegassi il procedimento che ti porta a valutare i nuovi estremi di integrazione dopo il cambiamento di variabile.
Comunque sia, ecco l'integrale :
$ int cos^2 x dx = int cosx cosx dx = sinxcosx + int sin^2 x dx $
$ sin^2x=1-cos^2 x$
da cui :
$ int cos^2x dx = sinxcosx + x - int cos^2 x dx$
quindi riscrivi $cos^2 x $ come cosx moltiplicato cosx e integri per parti fino ad avere l integrale di meno coseno al
quadrato di x al secondo membro.
A questo punto porti tale quantità al primo membro e dividi tutto per 2
cioè :
$ int ( cos^2x dx + cos^2x dx)=2/2 int cos^2 x dx = sinxcosx/2 + x/2 $
Comunque sia, ecco l'integrale :
$ int cos^2 x dx = int cosx cosx dx = sinxcosx + int sin^2 x dx $
$ sin^2x=1-cos^2 x$
da cui :
$ int cos^2x dx = sinxcosx + x - int cos^2 x dx$
quindi riscrivi $cos^2 x $ come cosx moltiplicato cosx e integri per parti fino ad avere l integrale di meno coseno al
quadrato di x al secondo membro.
A questo punto porti tale quantità al primo membro e dividi tutto per 2
cioè :
$ int ( cos^2x dx + cos^2x dx)=2/2 int cos^2 x dx = sinxcosx/2 + x/2 $
Il passaggio alle coordinati con un dominio che non ha simmetrie circolari secondo me ha poco senso, in questo caso si poteva rimanere nelle coordinate cartesiane, e sfruttare la simmetria del dominio rispetto all'asse x e la parità della funzione integranda.
"Justine90":
l'integrale di coseno quadro non è difficilissimo. Tuttavia non sono molto pratico degli integrali doppi e gradirei tu mi spiegassi il procedimento che ti porta a valutare i nuovi estremi di integrazione dopo il cambiamento di variabile.
Comunque sia, ecco l'integrale :
$ int cos^2 x dx = int cosx cosx dx = sinxcosx + int sin^2 x dx $
$ sin^2x=1-cos^2 x$
da cui :
$ int cos^2x dx = sinxcosx + x - int cos^2 x dx$
quindi riscrivi $cos^2 x $ come cosx moltiplicato cosx e integri per parti fino ad avere l integrale di meno coseno al
quadrato di x al secondo membro.
A questo punto porti tale quantità al primo membro e dividi tutto per 2
cioè :
$ int ( cos^2x dx + cos^2x dx)=2/2 int cos^2 x dx = sinxcosx/2 + x/2 $
Ok per l'integrale ti ringrazio, colpa mia che non avevo pensato ad integrarlo per parti con due $\cosx*cosx$
Per determinare gli estremi di integrazione io ho sostituito ad x e ad y le variabili cambiate ovvero:
$\ (rho*cos(theta))^2+(rho*sin(theta))^2 <= 2$
da cui ne deriva:
$\ rho^2*(cos^2(theta)+sin^2(theta))<=2$ essendo $\(cos^2(theta)+sin^2(theta))=1$ ho $\rho<=sqrt(2)$
Per il secondo estremo noto che $\rho*cos(theta)<=1$ quindi $\rho<= 1/(cos(theta))$
Questo vale solamente se il coseno è > 0, per cui essendo $\rho<= 1/(cos(theta))$ ricavo $\cos(theta)<= 1/(rho)$ che al massimo può essere $\cos(theta)<=1/sqrt(2)$ da qui ricavo che gli estremi sono $\ -pi/4<=theta<=pi/4
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