Problema con teorema del Dini
Salve, ho questa funzione
[tex]f(x,y)=sin{(x^2+2y^2)}[/tex]
e l'esercizio chiede di dimostrare che la curva di livello 1/2 è una curva regolare usando il teorema del Dini.
Ora ad occhio la curva è regolare: è un'ellisse di cui riesco financhè a calcolare i semiassi, però come si fa ad applicare il teorema del Dini?
Voglio che
[tex]f(x,y)=sin{(x^2+2y^2)}=\frac{1}{2}[/tex]
dunque dovrebbe essere [tex]{x^2+2y^2}=\frac{\pi}{6}[/tex]
poi calcolo il gradiente
[tex]\nabla f=cos{(x^2+2y^2)}(2x, 4y)[/tex]
e poi ... che faccio? di solito mi trovo un punto in cui l'equazione è soddisfatta e faccio vedere che in quel punto una delle due derivate non si annulla, ma qui non so che fare ...
help please!
Grazie mille
[tex]f(x,y)=sin{(x^2+2y^2)}[/tex]
e l'esercizio chiede di dimostrare che la curva di livello 1/2 è una curva regolare usando il teorema del Dini.
Ora ad occhio la curva è regolare: è un'ellisse di cui riesco financhè a calcolare i semiassi, però come si fa ad applicare il teorema del Dini?
Voglio che
[tex]f(x,y)=sin{(x^2+2y^2)}=\frac{1}{2}[/tex]
dunque dovrebbe essere [tex]{x^2+2y^2}=\frac{\pi}{6}[/tex]
poi calcolo il gradiente
[tex]\nabla f=cos{(x^2+2y^2)}(2x, 4y)[/tex]
e poi ... che faccio? di solito mi trovo un punto in cui l'equazione è soddisfatta e faccio vedere che in quel punto una delle due derivate non si annulla, ma qui non so che fare ...
help please!
Grazie mille
Risposte
Sai che [tex]$x^2+2y^2=\frac{\pi}{6}$[/tex] (in realtà ce ne sono anche altri di valori, della forma [tex]$\frac{\pi}{6}+2n\pi,\ \frac{5\pi}{6}+2n\pi,\ n\in\mathbb{N}$[/tex]) per cui ottieni che [tex]$\cos\left(\frac{\pi}{6}+2n\pi\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\ \cos\left(\frac{5\pi}{6}+2n\pi\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$[/tex] e, inoltre, essendo come affermavi [tex]$(x,y)$[/tex] punti di una ellisse non degenre, non potranno mai essere contemporaneamente nulli. Ne segue che il gradiente non è mai il vettore nullo.
Però non riesco ancora a capire come far vedere che è effettivamente così: il fatto di trovarmi sulla curva di livello [tex]\frac{1}{2}[/tex] mi dà per certo che la parte del coseno non sarà mai zero, ma poi per il pezzo di gradiente [tex](2x,4y)[/tex] come faccio a far vedere che una delle due componenti è sempre diversa da zero? Grazie mille della risposta ...
Altro dubbio (più stupido) sempre per questo teorema:
ho il seguente esercizio:
Dato l'insieme [tex]A={\{y^2-2yx^4+x^8=2\}}[/tex]trovare tutti i punti di A tali che A localmente si può rappresentare come grafico di una funzione rispetto all'asse x
Ho ragionato come segue:
perchè A sia il grafico di una funzione rispetto alle x voglio che la derivata rispetto ad y non si annulli mai, quindi
[tex]\frac{\partial f}{\partial y}=2y-2x^4 \not=0[/tex] quindi [tex]y \not= x^4[/tex] quindi, secondo me, per tutti i punti che non stanno su quella curva la mia funzione si può rappresentare come grafico di funzione, però non capisco cosa ci faccia l'uguale a due: ok, è la curva di livello cercata, ma se invece di essere 2 fossi stato 150000 ci sarebbe stato qualcosa di diverso? grazie mille ...
ho il seguente esercizio:
Dato l'insieme [tex]A={\{y^2-2yx^4+x^8=2\}}[/tex]trovare tutti i punti di A tali che A localmente si può rappresentare come grafico di una funzione rispetto all'asse x
Ho ragionato come segue:
perchè A sia il grafico di una funzione rispetto alle x voglio che la derivata rispetto ad y non si annulli mai, quindi
[tex]\frac{\partial f}{\partial y}=2y-2x^4 \not=0[/tex] quindi [tex]y \not= x^4[/tex] quindi, secondo me, per tutti i punti che non stanno su quella curva la mia funzione si può rappresentare come grafico di funzione, però non capisco cosa ci faccia l'uguale a due: ok, è la curva di livello cercata, ma se invece di essere 2 fossi stato 150000 ci sarebbe stato qualcosa di diverso? grazie mille ...
Se fossero entrambe uguali a zero avresti [tex]$0^2+2 0^2=\frac{\pi}{6}$[/tex]... ti pare possibile?
Per la seconda: osserva che l'insieme $A$ coincide con la seguente caratterizzazione [tex]$(y-x^4)^2=2$[/tex]: è questo fatto che ti assicura che la derivata rispetto ad $y$ sarà sempre diversa da zero.
Per la seconda: osserva che l'insieme $A$ coincide con la seguente caratterizzazione [tex]$(y-x^4)^2=2$[/tex]: è questo fatto che ti assicura che la derivata rispetto ad $y$ sarà sempre diversa da zero.
"ciampax":
Per la seconda: osserva che l'insieme $A$ coincide con la seguente caratterizzazione [tex]$(y-x^4)^2=2$[/tex]: è questo fatto che ti assicura che la derivata rispetto ad $y$ sarà sempre diversa da zero.
Ok, credo di aver capito, quindi la risposta all'esercizio è che tutti i punti dell'insieme A si possono scrivere come grafico di funzione rispetto alle x, perchè, usando la tua caratterizzazione, se $y=x^4$ allora dovrei scrivere
[tex]{(x^4-x^4}=2}[/tex] ovvero [tex]0=2[/tex], che è impossibile, quindi sull'insieme di livello 2 la derivata rispetto ad y non si annulla mai e quindi abbiamo sempre il grafico di una funzione rispetto alle y, è ok?
Grazie mille ...
Esatto.
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