Problema con successioni definite per ricorrenza
Salve, anzitutto mi presento, mi chiamo Giulio e sono studente di ingegneria. Fra un paio di settimane ho l'esame di analisi 1 e sto riscontrando alcune difficoltà con le successioni definite per ricorrenza.
Ho capito cosa sono ma non ho capito bene il procedimento per calcolarne il limite. So che devo vedere se la successione è crescente o decrescente e sfruttando il teorema del limite delle funzioni monotone, il limite sarà il Sup o l' Inf.
Ho comunque una gran confusione.. qualcuno che mi aiuta?
Ad esempio studiare il limite della seguente successione:
$ \{ (a(0)=1), (a(n+1)=a(n)*e^(sqrt(a(n)))) :}$
Ho capito cosa sono ma non ho capito bene il procedimento per calcolarne il limite. So che devo vedere se la successione è crescente o decrescente e sfruttando il teorema del limite delle funzioni monotone, il limite sarà il Sup o l' Inf.
Ho comunque una gran confusione.. qualcuno che mi aiuta?
Ad esempio studiare il limite della seguente successione:
$ \{ (a(0)=1), (a(n+1)=a(n)*e^(sqrt(a(n)))) :}$
Risposte
Ok, hai detto giusto.
L'idea fondamentale per lo studio delle successioni definite per ricorrenza consiste nel ricavare le informazioni sull'eventuale regolarità della successione usando la sola ricorrenza e poi (eventualmente) calcolare il limite della successione usando l'equazione dei punti fissi.
Nel caso in esame, innanzitutto, puoi dimostrare che:
\[
\forall n\in \mathbb{N},\ a(n)> 0
\]
(questo è davvero molto semplice, si fa per induzione, e lo lascio a te).
Poi, puoi provare che $a(n)$ è strettamente crescente.
Il fatto che $a(n)$ sia crescente implica che essa è dotata di limite, chiamiamolo $a$, uguale all'estremo superiore del sostegno (finito o infinito che sia); inoltre, la stretta monotonia implica che $a>a(1)=1$ o, ancora meglio, $a>a(2)=\mathbf{e}$, dunque il limite $a$ è un valore in \(]\mathbf{e} , +\infty]\).
Supponiamo che $a<+\infty$, ossia che \(a\in ]\mathbf{e} , +\infty[\).
Passando al limite ambo i membri della ricorrenza e tenendo presente che (per il Teorema sulle Successioni Estratte) risulta anche $a(n+1) -> a$, otteniamo che il valore $a$ soddisfa la relazione:
\[
a = a\ \mathbf{e}^{\sqrt{a}}
\]
il che equivale a dire che \(\mathbf{e}^\sqrt{a}=1\); ma ciò è impossibile, perché per la monotonia dell'esponenziale e della radice risulta:
\[
\mathbf{e}^\sqrt{a} > \mathbf{e}^\sqrt{\mathbf{e}} > 1\; .
\]
Pertanto $a$ non può essere finito e dunque è necessariamente $a=+\infty$, cioè:
\[
\lim_n a(n) = +\infty\; .
\]
L'idea fondamentale per lo studio delle successioni definite per ricorrenza consiste nel ricavare le informazioni sull'eventuale regolarità della successione usando la sola ricorrenza e poi (eventualmente) calcolare il limite della successione usando l'equazione dei punti fissi.
Nel caso in esame, innanzitutto, puoi dimostrare che:
\[
\forall n\in \mathbb{N},\ a(n)> 0
\]
(questo è davvero molto semplice, si fa per induzione, e lo lascio a te).
Poi, puoi provare che $a(n)$ è strettamente crescente.
Il fatto che $a(n)$ sia crescente implica che essa è dotata di limite, chiamiamolo $a$, uguale all'estremo superiore del sostegno (finito o infinito che sia); inoltre, la stretta monotonia implica che $a>a(1)=1$ o, ancora meglio, $a>a(2)=\mathbf{e}$, dunque il limite $a$ è un valore in \(]\mathbf{e} , +\infty]\).
Supponiamo che $a<+\infty$, ossia che \(a\in ]\mathbf{e} , +\infty[\).
Passando al limite ambo i membri della ricorrenza e tenendo presente che (per il Teorema sulle Successioni Estratte) risulta anche $a(n+1) -> a$, otteniamo che il valore $a$ soddisfa la relazione:
\[
a = a\ \mathbf{e}^{\sqrt{a}}
\]
il che equivale a dire che \(\mathbf{e}^\sqrt{a}=1\); ma ciò è impossibile, perché per la monotonia dell'esponenziale e della radice risulta:
\[
\mathbf{e}^\sqrt{a} > \mathbf{e}^\sqrt{\mathbf{e}} > 1\; .
\]
Pertanto $a$ non può essere finito e dunque è necessariamente $a=+\infty$, cioè:
\[
\lim_n a(n) = +\infty\; .
\]
Grazie per la risposta, credo di aver capito. Una domanda però: per verificare la monotonia della successione posso usare il solito calcolo differenziale come per le normali funzioni, invece del principio di induzione?
Dipende... Ma di solito no (le successioni non sono "derivabili", perché la nozione di derivata non ha senso per le successioni).
Prova a fare un esempio di quello che avresti in mente, così possiamo essere più specifici.
Prova a fare un esempio di quello che avresti in mente, così possiamo essere più specifici.
"gugo82":
Dipende... Ma di solito no (le successioni non sono "derivabili", perché la nozione di derivata non ha senso per le successioni).
Prova a fare un esempio di quello che avresti in mente, così possiamo essere più specifici.
Ho capito. Ho trovato anche questo schema generale per calcolare il limite:
1) si determina la funzione generatrice f
2) si trovano i punti fissi
3) si studia il segno di f(x)-x
4) se la successione giace tutta in {f(x)-x>=0} allora e’ crescente; se giace tutta in {f(x)-x<=0} e’ decrescente
5) si cerca di dimostrare per induzione che la successione sta tutta o in uno o nell’altro insieme del punto precedente (questo non e’ sempre vero se l’esercizio e’ difficile)
6) se ne traggono le opportune deduzioni sul limite
Non capisco però il punto 5... e poi nel punto 4 se la successione non è sempre decrescente o crescente ma cambia monotonia, come applico il teorema del limite delle funzioni monotone?
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