Problema con studio di funzione (immagine e numero di soluzioni)

[Generale Lyon]

Ciao ragazzi, ieri ho iniziato a fare uno studio di funzione (questo: ) allora ho trovato il dominio che se non ho sbagliato é : $ R - { +- 1} $ e poi di conseguenza mi sono trovato gli asintoti :
Asintoti verticali non ce ne sono, mentre gli asintoti orizzontali sono 2 : $ y = +pi/2 $ e $ y = -pi/2 $

Ora inizia il problema quando mi chiede di trovare l'immagine di $ f(x) $, ho provato a fare l'inversa ma non è cosa perché è una funzione composta e mi ricordo che c'era un altro metodo, ma non mi ricordo quale
Comunque passo avanti e per arrivare a trovare il numero di soluzioni dell'equazione $ f(x) = lambda $ devo tracciare il grafico della funzione... allora mi faccio la $ f'(x) $ e mi trovo questa funzione fratta improponibile :

$ (x(x-2))/(x^4-2x^3+4x^2-4x+2) $

dovrei porla $ >= 0 $ per lo studio della derivata prima , ma per me c'è qualcosa che non va..
Come dovrei fare? Aiutatemi ho l'esame tra 16 giorni..

[wanderer1]

Ciao,
sapendo:

1) $\lim_{x -> - \infty} f(x) = -\pi/2$

2) $\lim_{x -> +\infty} f(x) = \pi/2$

3) $\lim_{x -> -1} f(x) = -\tan(3/2)$

4) $\lim_{x -> 1^{+}} f(x) = \pi/2 $

5) $\lim_{x -> 1^{-}} f(x) = -\pi/2 $

6) $\frac{df}{dx} = 0$ per $x=0$,$x=2$ e $f(0)=-\pi/4$, $f(2)=tan(3)$

Per il teorema di Lagrange\Rolle possiamo affermare che la funzione $f(x)$ è strettamente crescente per $x<0$ (escluso $x=-1$) e per $x>2$, mentre è strettamente decrescente per $0
Pertanto,da qui, è facile trovare l'immagine e il numero delle soluzioni al variare di $\lamda$

PS: sono stato un po' sbrigativo, spero di essere stato lo stesso abbastanza chiaro

[Generale Lyon]

"wanderer":Ciao,
sapendo:

1) $\lim_{x -> - \infty} f(x) = -\pi/2$

2) $\lim_{x -> +\infty} f(x) = \pi/2$

3) $\lim_{x -> -1} f(x) = -\tan(3/2)$

4) $\lim_{x -> 1^{+}} f(x) = \pi/2 $

5) $\lim_{x -> 1^{-}} f(x) = -\pi/2 $

6) $\frac{df}{dx} = 0$ per $x=0$,$x=2$ e $f(0)=-\pi/4$, $f(2)=tan(3)$

Per il teorema di Lagrange\Rolle possiamo affermare che la funzione $f(x)$ è strettamente crescente per $x<0$ (escluso $x=-1$) e per $x>2$, mentre è strettamente decrescente per $0
Pertanto,da qui, è facile trovare l'immagine e il numero delle soluzioni al variare di $\lamda$

PS: sono stato un po' sbrigativo, spero di essere stato lo stesso abbastanza chiaro

no purtroppo non ho capito perché dai limiti passi a $ x=0 $ e $ x=2 $ e di conseguenza $f(0)=-\pi/4$ e $f(2)=tan(3)$

e quindi di conseguenza non capisco gli intervalli peri il teorema di Rolle/Langrange

[wanderer1]

Quelle numerate non sono delle conseguenze, sono solo delle constatazioni slegate le une dalle altre.
Da queste, si possono trovare, come conseguenza ( indiretta, anche se intuitiva e dimostrabile ) del teorema di Rolle, gli intervalli in cui la funzione è crescente\decrescente [nota]Infatti se in quegli intervalli la funzione non fosse strettamente crescente\decrescente, la derivata prima della funzione avrebbe più zeri (per il teorema di Rolle)[/nota].