Problema con studio di funzione con logaritmo al numeratore e denominatore
Ciao a tutti,spero di non aver sbagliato sezione...ho un problema con uno studio di funzione.Studio all'università e durante l'esame di matematica per l'economia nel compito c'era uno studio di funzione con logaritmo sia al numeratore che al denominatore non ricordo con precisone ma era tipo cosi: 5x+log/2x+log e non so come risolvere il dominio e tutto il resto,ho cercato sia su internet e altro degli esercizi sullo studio di funzione con logaritmi ma nulla nemmeno simile...come si risolve?Grazie in anticipo 
Risposte
Ciao Valemix,
Benvenuto/a sul forum!
Dovresti cercare di scrivere come specificato qui in modo che ti si possa aiutare meglio.
Ipotizzo che la funzione proposta sia la seguente:
$ y = f(x) = frac{5x+log x}{2x+log x} $
Se la funzione proposta è quella scritta, comincerei con l'osservare che per l'esistenza del logaritmo deve essere $x > 0 $.
La funzione presenta un asintoto verticale dove si annulla il denominatore (che si può trovare graficamente o con metodi numerici) ed un asintoto orizzontale di equazione $ y = 5/2 $
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Dovresti cercare di scrivere come specificato qui in modo che ti si possa aiutare meglio.
Ipotizzo che la funzione proposta sia la seguente:
$ y = f(x) = frac{5x+log x}{2x+log x} $
$ y = f(x) = frac{5x+log x}{2x+log x} $Se la funzione proposta è quella scritta, comincerei con l'osservare che per l'esistenza del logaritmo deve essere $x > 0 $.
La funzione presenta un asintoto verticale dove si annulla il denominatore (che si può trovare graficamente o con metodi numerici) ed un asintoto orizzontale di equazione $ y = 5/2 $
Si mi sono espressa male(con il cellulare ho avuto difficoltà nel digitare le formule)...grazie per la risposta.Ho un altra domanda per quanto riguarda quello studio di funzione con logaritmi,nell'esercizio dava da calcolarsi il dominio,il segno,gli asintoti,derivata prima e intersezione con gli assi.Volevo sapere come si calcola in quella funzione il segno per poi trovare gli asintoti e determinare in parte il grafico?
Valemix, non so quali metodi avete trattato a lezione, se avete trattato ad esempio il metodo di Newton-Raphson o delle tangenti per risolvere equazioni del tipo $g(x) = 0 $...
Il denominatore della funzione proposta si annulla per $ 2x + log x = 0 \implies x = e^{-W(2)} ~~ 0,4263 $, perciò il dominio della funzione è $ D := (0, e^{-W(2)}) \uu ( e^{-W(2)}, +\infty) $, ove $W $ è la funzione di Lambert, che non credo abbiate trattato, ma la uso solo per evitare di scrivere nel dominio il numero con la virgola, che è meno elegante...
Per lo studio del segno si procede come al solito:
$ f(x) = frac{5x+log x}{2x+log x} \ge 0 $
$N(x) $: $ 5x + log x \ge 0 \implies x \ge e^{-W(5)} ~~ 0,2653 $
$D(x) $: $ 2x + log x > 0 \implies x > e^{-W(2)} ~~ 0,4263 $
Quindi $f(x) \ge 0 $ per $x \le e^{-W(5)} \vv x > e^{-W(2)} $
Grazie allo studio del segno è possibile dedurre facilmente che si ha:
$ lim_{x \to [e^{-W(2)}]^+} f(x) = lim_{x \to [e^{-W(2)}]^+} frac{5x+log x}{2x+log x} = +\infty $
$ lim_{x \to [e^{-W(2)}]^-} f(x) = lim_{x \to [e^{-W(2)}]^-} frac{5x+log x}{2x+log x} = -\infty $
Inoltre si ha:
$ lim_{x \to 0^+} f(x) = lim_{x \to 0^+} frac{5x+log x}{2x+log x} = 1 $
Asintoto orizzontale: $ y = lim_{x \to +\infty} f(x) = lim_{x \to +\infty} frac{5x+log x}{2x+log x} = 5/2 $
La derivata della funzione proposta è $ f'(x) = frac{3(log x - 1)}{(2x+log x)^2} \implies f'(x) \ge 0 $ per $ log x - 1 \ge 0 \implies x \ge e $: ne consegue che la funzione ha un minimo nel punto $(e, frac{5e + 1}{2e + 1}) $ ed essendo $ frac{5e + 1}{2e + 1} < 5/2 $, si deduce che la funzione interseca il suo asintoto orizzontale nel punto $A $ che si trova risolvendo l'equazione seguente:
$ 5/2 = frac{5x+log x}{2x+log x} \implies x = 1 \implies A(1, 5/2) $
Il denominatore della funzione proposta si annulla per $ 2x + log x = 0 \implies x = e^{-W(2)} ~~ 0,4263 $, perciò il dominio della funzione è $ D := (0, e^{-W(2)}) \uu ( e^{-W(2)}, +\infty) $, ove $W $ è la funzione di Lambert, che non credo abbiate trattato, ma la uso solo per evitare di scrivere nel dominio il numero con la virgola, che è meno elegante...
Per lo studio del segno si procede come al solito:
$ f(x) = frac{5x+log x}{2x+log x} \ge 0 $
$N(x) $: $ 5x + log x \ge 0 \implies x \ge e^{-W(5)} ~~ 0,2653 $
$D(x) $: $ 2x + log x > 0 \implies x > e^{-W(2)} ~~ 0,4263 $
Quindi $f(x) \ge 0 $ per $x \le e^{-W(5)} \vv x > e^{-W(2)} $
Grazie allo studio del segno è possibile dedurre facilmente che si ha:
$ lim_{x \to [e^{-W(2)}]^+} f(x) = lim_{x \to [e^{-W(2)}]^+} frac{5x+log x}{2x+log x} = +\infty $
$ lim_{x \to [e^{-W(2)}]^-} f(x) = lim_{x \to [e^{-W(2)}]^-} frac{5x+log x}{2x+log x} = -\infty $
Inoltre si ha:
$ lim_{x \to 0^+} f(x) = lim_{x \to 0^+} frac{5x+log x}{2x+log x} = 1 $
Asintoto orizzontale: $ y = lim_{x \to +\infty} f(x) = lim_{x \to +\infty} frac{5x+log x}{2x+log x} = 5/2 $
La derivata della funzione proposta è $ f'(x) = frac{3(log x - 1)}{(2x+log x)^2} \implies f'(x) \ge 0 $ per $ log x - 1 \ge 0 \implies x \ge e $: ne consegue che la funzione ha un minimo nel punto $(e, frac{5e + 1}{2e + 1}) $ ed essendo $ frac{5e + 1}{2e + 1} < 5/2 $, si deduce che la funzione interseca il suo asintoto orizzontale nel punto $A $ che si trova risolvendo l'equazione seguente:
$ 5/2 = frac{5x+log x}{2x+log x} \implies x = 1 \implies A(1, 5/2) $
Grazie era cio che intendevo ...un ultima cosa,sai se qui sul sito ci sono esercizi simili risolti per poi confrontare lo svolgimento?
...un ultima cosa,sai se qui sul sito ci sono esercizi simili risolti per poi confrontare lo svolgimento?
"Valemix":
Grazie era cio che intendevo
Prego!
"Valemix":
sai se qui sul sito ci sono esercizi simili risolti per poi confrontare lo svolgimento?
Beh, ora non so se proprio del tipo da te proposto, ma certamente di esercizi risolti (o comunque con indicazioni sufficienti per risolverli) sullo studio di funzioni sul sito ve ne sono parecchi, basta avere il tempo e la pazienza di cercarli...
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