Problema con Serie numeriche

[Joe3]

Salve ragazzi,sono nuovo....ho problemi con questa serie
$sum_(n=1)^oo(sin(pin/12))/(sqrt(n))

qualcuno può risolverla con tutti i relativi passaggi e commenti?
grazie

[_Tipper]

Spero di non dire cavolate, ma direi che diverge.

Io ho ragionato così: $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{5}}}$ diverge perché è una serie armonica con esponente minore di $1$.

Inoltre $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\frac{1}{n^{\frac{3}{5}}}}{\frac{\sin(\pi \frac{n}{12})}{\sqrt{n}}} = 0$, quindi la serie iniziale diverge per confronto.

[Joe3]

Anche io ho ragionato cosi,però in realtà dovrebbe essere il lim della frazione inversa di quella che hai scritto tu....ed affinchè la serie diverga,il lim deve essere infinito.....però secondo me il lim non esiste...

[Joe3]

Ho dimenticato di dire che io l'ho confrontata con la serie armonica con esponente 1/2 e non 3/5

[_Tipper]

Se la confronti con $\frac{1}{\sqrt{n}}$ il limite non esiste, come giustamente hai detto (anche se comincio a dubitare che quello che ho fatto sia corretto).

[_Tipper]

Anzi, direi proprio che non lo è.

[TomSawyer1]

Non può essere considerata una serie a segni alterni, dato che $-1<=sin(pin/12)<=1$?

[_Tipper]

Penso che quelle a segni alterni debbano avere un $(-1)^n$, un $\cos(n \pi)$, un $\sin((2n+1) \frac{\pi}{2})$ o qualcosa del genere, che valga alternativamente $+1$ o $-1$, o sbaglio?

[Joe3]

Non è a segni alterni perchè in generale i termini pari della serie devono essere positivi,e quelli dispari negativi,oppure viceversa.
In questo caso invece i termini sono positivi per n da 1 a 12,poi negativi fino a n=24,poi diventano di nuovo positivi fino a n=36 e cosi via.....quindi è una serie a termini a segno arbitrario

[_luca.barletta]

esatto; di solito per le serie a termini di segno qualsiasi si studia la convergenza assoluta. Questa serie non dovrebbe convergere assolutamente ma convergere solo semplicemente.

[fabry1985mi]

"Joe":Salve ragazzi,sono nuovo....ho problemi con questa serie
$sum_(n=1)^oo(sin(pin/12))/(sqrt(n))

qualcuno può risolverla con tutti i relativi passaggi e commenti?
grazie

Scusate se mi intrometto, ma secondo me la serie converge semplicemente: infatti il criterio di sommazione per parti(credo almeno si chiami così) dice che date due successioni reali ${a_n}_{n in mathbb{N}}$ e ${b_n}_{n in mathbb{N}}$ tali che:
1: $exists M>0$ tale che $forall n in mathbb{N}$ vale che $s_n:=|sum_{k=1}^{n}a_k|<=M$
2: $lim_{n->+infty}b_n=0$
3: $b_1>=b_2>=...>=0$
allora vale che: $sum_{n=1}^{+infty}a_nb_n$ converge.
Se noi ora scegliamo:
$a_n=sin(pi/12n)$ e $b_n=1/(sqrt(n))$
ci siamo perchè le ipotesi del criterio sono soddisfatte e la serie prodotto converge.

[giuseppe87x]

"fabry1985mi":[quote="Joe"]Salve ragazzi,sono nuovo....ho problemi con questa serie
$sum_(n=1)^oo(sin(pin/12))/(sqrt(n))

qualcuno può risolverla con tutti i relativi passaggi e commenti?
grazie

Scusate se mi intrometto, ma secondo me la serie converge semplicemente: infatti il criterio di sommazione per parti(credo almeno si chiami così) dice che date due successioni reali ${a_n}_{n in mathbb{N}}$ e ${b_n}_{n in mathbb{N}}$ tali che:
1: $exists M>0$ tale che $forall n in mathbb{N}$ vale che $s_n:=|sum_{k=1}^{n}a_k|<=M$
2: $lim_{n->+infty}b_n=0$
3: $b_1>=b_2>=...>=0$
allora vale che: $sum_{n=1}^{+infty}a_nb_n$ converge.
Se noi ora scegliamo:
$a_n=sin(pi/12n)$ e $b_n=1/(sqrt(n))$
ci siamo perchè le ipotesi del criterio sono soddisfatte e la serie prodotto converge.[/quote]

Esatto fabry, la serie soddisfa le ipotesi del criterio di Dirichlet (che altro poi non è che una generalizzazione del criterio di Leibnitz) quindi converge semplicemente.