Problema con serie di potenza
Ho un problemino (forse di analisi 1) riguardo lo svolgimento di questa serie di potenze.
$\sum_{n=1}^oo ((-1)^n *n)/(2^n *logn) * (logx + 1)^n$
Ecco il mio svolgimento: pongo $y= logx + 1$ e così la serie mi diventa $\sum_{k=1}^oo (((-1)^n *n)/(2^n *logn)) * y^n$
Da qui proseguo con il criterio di D'Alembert e ottengo che il mio raggio d convergenza è $2$. Così vado a vedere se posso allargarmi agli estremi. (Qui nasce il mio problema)
Per $y=-2$ la serie diventa $\sum_{n=1}^oo n/logn $. Allora intervengo con il criterio del rapporto ma il risultato è 1...quindi (correggetemi se sbaglio) non posso provare niente. Con quale criterio posso dimostrare la convergenza o non-convergenza in questo estremo ?? (So dell'esistenza del criterio degli infinitesimi e del confronto...ma non li so applicare in questo caso)
Per $y=2$ la serie diventa $\sum_{n=1}^oo ((-1)^n *n)/logn$. Questa è una serie a segni alterni e va dimostrata con il criterio di Leibinitz. Punto primo: $\lim_{n \to \infty}a_n = 0$ ma a me non fa zero...ma $oo/oo$. Ciò significa che non converge oppure ho sbagliato a fare il limite ?
Sono piccoli accorgimeti che però compromettono l'esercizio...Grazie dell'aiuto.
$\sum_{n=1}^oo ((-1)^n *n)/(2^n *logn) * (logx + 1)^n$
Ecco il mio svolgimento: pongo $y= logx + 1$ e così la serie mi diventa $\sum_{k=1}^oo (((-1)^n *n)/(2^n *logn)) * y^n$
Da qui proseguo con il criterio di D'Alembert e ottengo che il mio raggio d convergenza è $2$. Così vado a vedere se posso allargarmi agli estremi. (Qui nasce il mio problema)
Per $y=-2$ la serie diventa $\sum_{n=1}^oo n/logn $. Allora intervengo con il criterio del rapporto ma il risultato è 1...quindi (correggetemi se sbaglio) non posso provare niente. Con quale criterio posso dimostrare la convergenza o non-convergenza in questo estremo ?? (So dell'esistenza del criterio degli infinitesimi e del confronto...ma non li so applicare in questo caso)
Per $y=2$ la serie diventa $\sum_{n=1}^oo ((-1)^n *n)/logn$. Questa è una serie a segni alterni e va dimostrata con il criterio di Leibinitz. Punto primo: $\lim_{n \to \infty}a_n = 0$ ma a me non fa zero...ma $oo/oo$. Ciò significa che non converge oppure ho sbagliato a fare il limite ?
Sono piccoli accorgimeti che però compromettono l'esercizio...Grazie dell'aiuto.
Risposte
Ma nessuno che mi dà un consiglio?
[mod="Paolo90"]Piano con gli up, per piacere... Non sono permessi prima di 24 ore (regolamento, 3.4).[/mod]
[quote=Paolo90][/quote]
Sorry !!
Sorry !!
Ti dono un limite notevole: [tex]$\lim_{n\to+\infty}\frac{\log n}{n}=0^+$[/tex]! 
"j18eos":
Ti dono un limite notevole: [tex]$\lim_{n\to+\infty}\frac{\log n}{n}=0^+$[/tex]!
Però io ho il contrario...cioè $\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{log n}$ Il risultato è sempre lo stesso ???
Urge un ripassino dei teoremi sui limiti, secondo me.
Se [tex]$\lim_n a_n =0^+$[/tex] (con [tex]$a_n\neq 0$[/tex]) allora quanto fa [tex]$\lim_n \tfrac{1}{a_n}$[/tex]?
Se [tex]$\lim_n a_n =0^+$[/tex] (con [tex]$a_n\neq 0$[/tex]) allora quanto fa [tex]$\lim_n \tfrac{1}{a_n}$[/tex]?
"gugo82":
Urge un ripassino dei teoremi sui limiti, secondo me.
Se [tex]$\lim_n a_n =0^+$[/tex] (con [tex]$a_n\neq 0$[/tex]) allora quanto fa [tex]$\lim_n \tfrac{1}{a_n}$[/tex]?
Il problema sai qual'è...che la scuola italiana sta cadendo a pezzi. Ora non voglio nascondere le mie lacune dietro a questa scusa...però se alle superiori avessero invogliato un pò di più noi ragazzi (15enni per giunta) a studiare , o almeno a farla piacere una materia, forse non avrei tutte queste lacune. Non trovi ?
"carpirob":
[quote="gugo82"]Urge un ripassino dei teoremi sui limiti, secondo me.
Se [tex]$\lim_n a_n =0^+$[/tex] (con [tex]$a_n\neq 0$[/tex]) allora quanto fa [tex]$\lim_n \tfrac{1}{a_n}$[/tex]?
Il problema sai qual'è...che la scuola italiana sta cadendo a pezzi. Ora non voglio nascondere le mie lacune dietro a questa scusa...però se alle superiori avessero invogliato un pò di più noi ragazzi (15enni per giunta) a studiare , o almeno a farla piacere una materia, forse non avrei tutte queste lacune. Non trovi ?[/quote]
No, non trovo.
Hai il libro di Analisi davanti: prendilo e ripetiti le regole sui limiti, invece di incolpare la scuola.
E se questo non aiuta, prova a farti degli esempi semplici ed a trarne euristicamente una regola generale. Ad esempio, prendi [tex]$a_n=\tfrac{1}{n}$[/tex] oppure [tex]$a_n=2^{-n}$[/tex] oppure [tex]$a_n=\tfrac{1}{\ln n}$[/tex]... Cosa succede alla successione [tex]$\tfrac{1}{a_n}$[/tex] in questi casi?
Che regola generale ne trai?
Riesci a dimostrare che questa regola vale per ogni successione tale che [tex]$\lim_n a_n =0^+$[/tex]*?
__________
* Per inciso la notazione [tex]$\lim_n a_n =0^+$[/tex] significa che 1) [tex]$\lim_n a_n=0$[/tex] e che 2) per [tex]$n$[/tex] abbastanza grande risulta [tex]$a_n \geq 0$[/tex].
Ma cosa c'entrano le superiori, questo sui limiti è un patrimonio di conoscenza che non dovrebbe provenire da quanto fatto a scuola, ma a quanto visto nel corso e sui libri di Analisi. La matematica come si fa a scuola, provocatoriamente, è meglio dimenticarla: si tratta di un approccio completamente diverso rispetto a quello universitario.
E poi non ti nascondere dietro l'alibi di avere fatto una cattiva scuola: è successa la stessa cosa anche a me (la colpa di ciò è stata mia, si intende), e allora mi sono rimboccato le maniche e ho sudato il doppio sui libri universitari. Su questo forum c'è anche della gente che ha fatto studi superiori tecnici, senza studiare matematica se non ai primi due anni, e poi ha conseguito brillantemente la laurea in matematica.
Quindi invece di aspettare che sia qualcun altro a imboccarti, quando ti accorgi di non sapere qualcosa apri un buon libro e vai a impararla. Oggi poi, con Internet, non c'è assolutamente il problema della penuria di materiale, semmai c'è il problema inverso.
P.S.: Scrivevo contemporaneamente a Gugo.
E poi non ti nascondere dietro l'alibi di avere fatto una cattiva scuola: è successa la stessa cosa anche a me (la colpa di ciò è stata mia, si intende), e allora mi sono rimboccato le maniche e ho sudato il doppio sui libri universitari. Su questo forum c'è anche della gente che ha fatto studi superiori tecnici, senza studiare matematica se non ai primi due anni, e poi ha conseguito brillantemente la laurea in matematica.
Quindi invece di aspettare che sia qualcun altro a imboccarti, quando ti accorgi di non sapere qualcosa apri un buon libro e vai a impararla. Oggi poi, con Internet, non c'è assolutamente il problema della penuria di materiale, semmai c'è il problema inverso.
P.S.: Scrivevo contemporaneamente a Gugo.
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