Problema con Serie a Segno variabile
Ciao a tutti ragazzi...Ho la seguente serie:
$\sum_(k=0)^(\infty)(-1)^k\sqrt(\frac{k^3+3}{2k^3-5})$
ma non riesco a studiare il suo "comportamento"... Dovrei applicare il criterio di Leibniz giusto? Ma per farlo devo verificare che la serie si monotona decrescente... come faccio? Porre la mia serie $a_k>=a_(k+1)$ mi fa venire fuori troppi conti e quindi suppongo ci sia un'altra strada... chi mi aiuta? Grazie in anticipo...
$\sum_(k=0)^(\infty)(-1)^k\sqrt(\frac{k^3+3}{2k^3-5})$
ma non riesco a studiare il suo "comportamento"... Dovrei applicare il criterio di Leibniz giusto? Ma per farlo devo verificare che la serie si monotona decrescente... come faccio? Porre la mia serie $a_k>=a_(k+1)$ mi fa venire fuori troppi conti e quindi suppongo ci sia un'altra strada... chi mi aiuta? Grazie in anticipo...
Risposte
La prima condizione del criterio di leibnitz è che :
ma in questo caso hai :
Dovresti studiare l'assoluta convergenza della serie :
E' una serie a termini positivi e quindi puoi applicare uno dei criteri di convergenza e vedere se la serie converge assolutamente ( e quindi anche semplicemente )
$ lim_(k->+oo) a_k = 0 $
ma in questo caso hai :
$ lim_(k->+oo) sqrt((k^3+3)/(2k^3-5)) = sqrt(2)/2 != 0 $
Dovresti studiare l'assoluta convergenza della serie :
$ sum_(k=0)^(+oo) | (-1)^k sqrt((k^3+3)/(2k^3-5)) |= sum_(k=0)^(+oo) sqrt((k^3+3)/(2k^3-5)) $
E' una serie a termini positivi e quindi puoi applicare uno dei criteri di convergenza e vedere se la serie converge assolutamente ( e quindi anche semplicemente )
Come fa un serie a convergere se non è soddisfatta la CN?
@gugo82 cosa è la CN?
Ops..hai ragione, ho del tutto dimenticato quello che avevo scritto prima..
Quindi la serie dovrebbe divergere, però dato che c'è $ (-1)^k $ allora è indeterminata / oscillante ?
@M4rk : La CN (Condizione Necessaria per la convergenza) è quella che ti ho scritto prima. Cioè :
Data una serie $ sum_(n=0)^(+oo) a_n $ , condizione necessaria (ma non sufficiente) per la convergenza è che :
Se rispetta tale condizione allora la serie potrebbe convergere, se non la rispetta allora la serie diverge sicuramente.
Quindi la serie dovrebbe divergere, però dato che c'è $ (-1)^k $ allora è indeterminata / oscillante ?
@M4rk : La CN (Condizione Necessaria per la convergenza) è quella che ti ho scritto prima. Cioè :
Data una serie $ sum_(n=0)^(+oo) a_n $ , condizione necessaria (ma non sufficiente) per la convergenza è che :
$ lim_(n->+oo) a_n = 0 $
Se rispetta tale condizione allora la serie potrebbe convergere, se non la rispetta allora la serie diverge sicuramente.
ah è vero! Quindi prima di studiare OGNI serie mi conviene verificare questa condizione necessaria giusto? Così posso vedere se diverge o può convergere.... Ho capito bene?
Beh diciamo che è una cosa da controllare sempre perchè in questi casi ci semplifica la vita 
PS : @gugo per favore potresti rispondere alla domanda di prima ? Mi hai fatto venire il dubbio
PS : @gugo per favore potresti rispondere alla domanda di prima ? Mi hai fatto venire il dubbio
"Oiram92":
Quindi la serie dovrebbe divergere, però dato che c'è $ (-1)^k $ allora è indeterminata / oscillante ?
vale per ogni serie giusto?? Sia a termini positivi che alternati ecc...
"M4rk":
vale per ogni serie giusto?? Sia a termini positivi che alternati ecc...
Si
@ Oiram92: Beh, quella roba lì sembra oscillante e limitata... Tuttavia, per stabilirlo sensatamente servirebbe fare due conti espliciti.
Prova a vedere quel che ne esce.
Prova a vedere quel che ne esce.
ragazzi vi posto un'altra serie (sono la mia bestia nera di analisi 
)...
Dovrei studiare la seguente serie al variare del parametro $t$
$\sum_(n)(-1)^n\frac{3n-t}{3n^2+2ln(n)}$
Allora è una serie a segni alternati, studio la CN ed ottengo che il limite va a $0$ quindi la serie può convergere... Ora stediando la convergenza assoluta ottengo che la serie $|a_k|$ diverge quindi non posso dire nulla... Applico il criterio di Leibniz?
)... Dovrei studiare la seguente serie al variare del parametro $t$
$\sum_(n)(-1)^n\frac{3n-t}{3n^2+2ln(n)}$
Allora è una serie a segni alternati, studio la CN ed ottengo che il limite va a $0$ quindi la serie può convergere... Ora stediando la convergenza assoluta ottengo che la serie $|a_k|$ diverge quindi non posso dire nulla... Applico il criterio di Leibniz?
Sì.
Ragazzi, vi chiedo aiuto e supporto per una nuova serie numerica, devo studiarla al variare del parametro reale $a$:
$\sum_(n)\frac{ln(a+4)^n}{(4-n^2)16^(n+2)}$
Allora io ho visto che banalmente innanzitutto deve essere per forza $a>(-4)$ ed inoltre che per $a=-3$ la serie converge...
Poi ho studiato la CN:
$\lim_(x->+\infty)\frac{ln(a+4)^n}{(4-n^2)16^(n+2)} = \lim_(x->+\infty)\frac{(n)ln(a+4)}{(4-n^2)16^(n+2)}$ e che posso stimare come $lim_(x->+\infty)\frac{n}{16^(n+2)}=0$ e di conseguenza la serie può convergere...
Ora essendo una serie a termini positivi applico il criterio della radice:
$\frac{1}{16}\lim_(x->+\infty)(\frac{n\ln(a+4)}{(4-n^2)16^2})^\frac{1}{n}=\frac{1}{16}\lim_(x->+\infty)e^(\frac{\ln(\frac{n\ln(a+4)}{(4-n^2)16^2})}{n})=\frac{1}{16}\lim_(x->+\infty)e^0=\frac{1}{16}$ perciò poichè il limite è minore di $1$ (condizione del criterio della radice) allora la serie converge....
E' giusto il procedimento?
$\sum_(n)\frac{ln(a+4)^n}{(4-n^2)16^(n+2)}$
Allora io ho visto che banalmente innanzitutto deve essere per forza $a>(-4)$ ed inoltre che per $a=-3$ la serie converge...
Poi ho studiato la CN:
$\lim_(x->+\infty)\frac{ln(a+4)^n}{(4-n^2)16^(n+2)} = \lim_(x->+\infty)\frac{(n)ln(a+4)}{(4-n^2)16^(n+2)}$ e che posso stimare come $lim_(x->+\infty)\frac{n}{16^(n+2)}=0$ e di conseguenza la serie può convergere...
Ora essendo una serie a termini positivi applico il criterio della radice:
$\frac{1}{16}\lim_(x->+\infty)(\frac{n\ln(a+4)}{(4-n^2)16^2})^\frac{1}{n}=\frac{1}{16}\lim_(x->+\infty)e^(\frac{\ln(\frac{n\ln(a+4)}{(4-n^2)16^2})}{n})=\frac{1}{16}\lim_(x->+\infty)e^0=\frac{1}{16}$ perciò poichè il limite è minore di $1$ (condizione del criterio della radice) allora la serie converge....
E' giusto il procedimento?
si .... 
....era più semplice con il confronto asintotico!
....era più semplice con il confronto asintotico!
Ciao ragazzi, posto una nuova serie numerica (mi servono dei riscontri con voi... problema esame )... allora:
$\sum_n[ln(n+1)-aln(n)] = \sum_n[ln(\frac{n+1}{n^a})]$
Studio la condizione necessaria e ottengo che:
$\lim_(x->infty)ln(\frac{n+1}{n^a})$ e può convergere solo per $a>=1$
Ora procedo lo studio della serie ponendo:
$ln(\frac{n+1}{n^a})=\frac{n+1}{n^a}-1$
- se $a=1$ ottengo:
$\frac{n+1-n^a}{n^a}=\frac{1}{n}$ che diverge.
- se $a>1$ ho:
$\frac{n+1-n^a}{n^a}=\frac{n^a}{n^a}=1$ e quindi converge.
Giusto?
)... allora:$\sum_n[ln(n+1)-aln(n)] = \sum_n[ln(\frac{n+1}{n^a})]$
Studio la condizione necessaria e ottengo che:
$\lim_(x->infty)ln(\frac{n+1}{n^a})$ e può convergere solo per $a>=1$
Ora procedo lo studio della serie ponendo:
$ln(\frac{n+1}{n^a})=\frac{n+1}{n^a}-1$
- se $a=1$ ottengo:
$\frac{n+1-n^a}{n^a}=\frac{1}{n}$ che diverge.
- se $a>1$ ho:
$\frac{n+1-n^a}{n^a}=\frac{n^a}{n^a}=1$ e quindi converge.
Giusto?
nessuno può dirmi qualcosa sull'esercio sopra postato? Ho bisogno di confrontarmi con qualcuno...
c'è qualcosa che non va, nell'approssimazione del logaritmo:
\[\ln\left(\frac{n+1}{n^{\alpha}}\right)\not\sim\frac{n+1}{n^{\alpha}}-1 \]
perchè quell'approssimazione va bene se l'argomento del $\ln$ va a $1$ e ciò accade se e solo se $\alpha =1$
\[\ln\left(\frac{n+1}{n^{\alpha}}\right)\not\sim\frac{n+1}{n^{\alpha}}-1 \]
perchè quell'approssimazione va bene se l'argomento del $\ln$ va a $1$ e ciò accade se e solo se $\alpha =1$
quindi se $a=1$ ho che la serie diverge comunque;
se $a>1$ ho che:
$\sum_(n)ln(\frac{n+1}{n^a})$ ed è una serie a termini positivi, mi viene in mente di risolverla sempre con quella stima asintotica ma con un cambio di variabile in modo che l'argomento vada a uno...può essere la strata giusta? Anche se non riesco a trovare un cambio di variabile corretto...
se $a>1$ ho che:
$\sum_(n)ln(\frac{n+1}{n^a})$ ed è una serie a termini positivi, mi viene in mente di risolverla sempre con quella stima asintotica ma con un cambio di variabile in modo che l'argomento vada a uno...può essere la strata giusta? Anche se non riesco a trovare un cambio di variabile corretto...
"M4rk":
quindi se $n=a$ ho che la serie diverge comunque;
$n=a$??
oddio sorry 
oops $a=1$..correggo subito
oops $a=1$..correggo subito
se $a>1$ allora il termine generale nn va a zero
\begin{align}\ln\left(\frac{n+1}{n^{\alpha}}\right)\to-\infty\end{align}
se $a=1$ allora il termine generale diviene
\begin{align}\ln\left(\frac{n+1}{n }\right)=\ln\left(1+\frac{1}{n }\right)\sim\frac{1}{n}\to\mbox{diverge}\end{align}
se $a<1$ allora il termine termine generale nn va a zero
\begin{align}\ln\left(n^a(n+1)\right) \to+\infty\end{align}
quindi quella serie sostanzialmente non converge mai!
\begin{align}\ln\left(\frac{n+1}{n^{\alpha}}\right)\to-\infty\end{align}
se $a=1$ allora il termine generale diviene
\begin{align}\ln\left(\frac{n+1}{n }\right)=\ln\left(1+\frac{1}{n }\right)\sim\frac{1}{n}\to\mbox{diverge}\end{align}
se $a<1$ allora il termine termine generale nn va a zero
\begin{align}\ln\left(n^a(n+1)\right) \to+\infty\end{align}
quindi quella serie sostanzialmente non converge mai!
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