Problema con Serie a Segno variabile
Ciao a tutti ragazzi...Ho la seguente serie:
$\sum_(k=0)^(\infty)(-1)^k\sqrt(\frac{k^3+3}{2k^3-5})$
ma non riesco a studiare il suo "comportamento"... Dovrei applicare il criterio di Leibniz giusto? Ma per farlo devo verificare che la serie si monotona decrescente... come faccio? Porre la mia serie $a_k>=a_(k+1)$ mi fa venire fuori troppi conti e quindi suppongo ci sia un'altra strada... chi mi aiuta? Grazie in anticipo...
$\sum_(k=0)^(\infty)(-1)^k\sqrt(\frac{k^3+3}{2k^3-5})$
ma non riesco a studiare il suo "comportamento"... Dovrei applicare il criterio di Leibniz giusto? Ma per farlo devo verificare che la serie si monotona decrescente... come faccio? Porre la mia serie $a_k>=a_(k+1)$ mi fa venire fuori troppi conti e quindi suppongo ci sia un'altra strada... chi mi aiuta? Grazie in anticipo...
Risposte
si hai ragione...avevo completamente errato a fare il limite... grazie mille! 
Scusate ragazzi...altra piccola serie.. banale credo, ma ho un problemino:
Sempre al variare di $x$:
$\sum_n\frac{(3x+4)^n}{3n+4}$
Facendo il limite (salvo errori) ottengo che:
- $x=-1$ allora la serie può convergere;
- $x>-1$ la serie non coverge;
- $x<-1$ la serie è a segni alternati e quindi dovrei studiare il suo comportamento (...giusto?)
Ora banalmente ho che se $x=-1$ la serie data è asintotica alla serie $\frac{1}{n}$ che diverge.
Quindi passo $x<-1$ ma qui la serie è a segni alternati, io sinceramente l'ho risolto col criterio di Leibniz (ma secondo me non va bene...) nel seguente modo:
$\lim_n\frac{1}{3n+4}=0$ e poichè la serie è decrescente allora essa converge per $x<-1$ però in questo modo trascuro tutto il numeratore che continua a oscillare e a divergere... chi mi aiuta?
Sempre al variare di $x$:
$\sum_n\frac{(3x+4)^n}{3n+4}$
Facendo il limite (salvo errori) ottengo che:
- $x=-1$ allora la serie può convergere;
- $x>-1$ la serie non coverge;
- $x<-1$ la serie è a segni alternati e quindi dovrei studiare il suo comportamento (...giusto?)
Ora banalmente ho che se $x=-1$ la serie data è asintotica alla serie $\frac{1}{n}$ che diverge.
Quindi passo $x<-1$ ma qui la serie è a segni alternati, io sinceramente l'ho risolto col criterio di Leibniz (ma secondo me non va bene...) nel seguente modo:
$\lim_n\frac{1}{3n+4}=0$ e poichè la serie è decrescente allora essa converge per $x<-1$ però in questo modo trascuro tutto il numeratore che continua a oscillare e a divergere... chi mi aiuta?
Io farei un ragionamento di questo tipo: la serie non è termini positivi, quindi considerandone il valore assoluto del termine generale, abbiamo:
\begin{align}
\left| \frac{(3x+4)^n}{3n+4}\right|=\frac{\left| 3x+4\right|^n}{3n+4}
\end{align}
a questo punto abbiamo una serie a termini positivi, cui possiamo applicare, ad esempio, il criterio del rapporto:
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left| 3x+4\right|^n}{3n+4} &\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\frac{\left| 3x+4\right|^{n+1}}{3n+7}\cdot\frac{3n+4}{\left| 3x+4\right|^n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\left| 3x+4\right|^{n }\cdot \left| 3x+4\right|}{3n+7}\cdot\frac{3n+4}{\left| 3x+4\right|^n}\\
&= \left| 3x+4\right|=\begin{cases}\mbox{se} \,\,\, \left| 3x+4\right|<1\,\,\,\mbox{converge}\\
\mbox{se} \,\,\, \left| 3x+4\right|>1\,\,\,\mbox{diverge}\\
\mbox{se} \,\,\, \left| 3x+4\right|=1\,\,\,\mbox{criterio inefficacie}\\
\end{cases}
\end{align}
ovviamente vanno discussi per altra via i valori di $x$ per cui il criterio del rapporto risulta inefficacie ....
\begin{align}
\left| \frac{(3x+4)^n}{3n+4}\right|=\frac{\left| 3x+4\right|^n}{3n+4}
\end{align}
a questo punto abbiamo una serie a termini positivi, cui possiamo applicare, ad esempio, il criterio del rapporto:
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left| 3x+4\right|^n}{3n+4} &\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\frac{\left| 3x+4\right|^{n+1}}{3n+7}\cdot\frac{3n+4}{\left| 3x+4\right|^n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\left| 3x+4\right|^{n }\cdot \left| 3x+4\right|}{3n+7}\cdot\frac{3n+4}{\left| 3x+4\right|^n}\\
&= \left| 3x+4\right|=\begin{cases}\mbox{se} \,\,\, \left| 3x+4\right|<1\,\,\,\mbox{converge}\\
\mbox{se} \,\,\, \left| 3x+4\right|>1\,\,\,\mbox{diverge}\\
\mbox{se} \,\,\, \left| 3x+4\right|=1\,\,\,\mbox{criterio inefficacie}\\
\end{cases}
\end{align}
ovviamente vanno discussi per altra via i valori di $x$ per cui il criterio del rapporto risulta inefficacie ....
Sul mio libro di testo c'è scritto che la condizione necessaria può dirci se una serie è convergente oppure se non lo è!
Non possiamo dire quindi che una serie che non converge per la condizione necessaria diverge sicuramente in quanto potrebbe essere anche irregolare! Possiamo dire invece che una serie a termini positivi che non converge allora diverge!
Correggetemi se sbaglio, o meglio se sbaglia il testo!
Non possiamo dire quindi che una serie che non converge per la condizione necessaria diverge sicuramente in quanto potrebbe essere anche irregolare! Possiamo dire invece che una serie a termini positivi che non converge allora diverge!
Correggetemi se sbaglio, o meglio se sbaglia il testo!
non ho capito ciò che hai scritto .... in ogni caso, se il termine generale della serie non tende a zero, allora sicuramente la serie non converge (il fatto che non tenda a zero, significa anche che il limite non esista) che abbia segno costante( serie a termini positivi ad esempio) o segno non costante;d'altra parte se il limite del termine generale tendde a zero, non è sufficiente a stabilire se la serie converge o meno, in quanto bisogna stabilire con che ordine va a zero: ecco perchè esistono dei criteri, in particolare per le serie a termini positivi, che ti permettono di stabilirne il carattere.
Ok, hai risposto alla mia domanda ed è come pensavo, grazie!
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