Problema con serie

[VALE014]

salve a tutti devo calcolare una serie con parametro. : $sum_{n=1}^{+\infty}(x^n(1-x)/n) $ .
(premetto che è un esercizio già svolto dal libro perciò sto chiedendo chiarimenti).
svolgo la condizione necessaria ed ho: $ lim_(n -> oo) (x^n(1-x)/n) $ è 0 se $ |x|<=1 $ ; $ -oo se x>1 $ ed non esiste se $ x<1 $ .
non capisco come si fanno questi passaggi, come fanno ad arrivare a tale risultato.grazie in anticipo

[pilloeffe]

Ciao VALE0,

Ops, questo tuo post mi era sfuggito...
La serie proposta è la seguente:

$ sum_{n=1}^{+\infty} frac{1 - x}{n} x^n = sum_{n=1}^{+\infty} a_n(x) $

Comincerei con l'osservare che la serie proposta converge a $0$ per $x = 1 $ e per $x = 0 $
Dato poi che per $x = - 1 $ la serie proposta converge in quanto si ha

$ sum_{n=1}^{+\infty} frac{2}{n}(-1)^n = 2 sum_{n=1}^{+\infty} frac{(-1)^n}{n} = - 2 ln(2) = 2 ln(1/2) $

tutto lascia presumere che la serie proposta converga per $- 1 \le x \le 1 $
Adesso però lo si deve dimostrare. Dato che la serie proposta non è a termini positivi, è necessario considerare la serie assoluta:

$ sum_{n=1}^{+\infty} |a_n(x)| = sum_{n=1}^{+\infty} frac{|1 - x|}{n} |x|^n$

Vediamo cosa accade applicando a quest'ultima serie la condizione necessaria di convergenza di Cauchy:

$ lim_{n \to +\infty} |a_n(x)| = lim_{n \to +\infty} frac{|1 - x|}{n} |x|^n = {(0 \text{ se } |x| \le 1) , (+\infty \text{ se } |x| > 1):} $

Pertanto la serie assoluta può convergere se e solo se $|x| \le 1 \iff - 1 \le x \le 1 $
Per avere la conferma che essa effettivamente converga, applichiamo alla serie assoluta il criterio del rapporto:

$ lim_{n \to +\infty} |frac{a_{n + 1}(x)}{a_n(x)}| = lim_{n \to +\infty} frac{frac{|1 - x|}{n + 1} |x|^{n + 1}}{frac{|1 - x|}{n} |x|^n} = lim_{n \to +\infty} frac{n}{n + 1} |x| = |x| $

Dunque la serie iniziale proposta converge assolutamente e quindi anche semplicemente per $|x| < 1 \iff - 1 < x < 1 $;
siccome poi si è già visto che la serie proposta converge anche per $x = 1 $ e per $ x = - 1 $, si conclude che essa converge per $|x| \le 1 \iff - 1 \le x \le 1 $ confermando quanto si era presunto inizialmente.