Problema con questi integrale
Non penso di saper risolvere il seguente integrale:
$\int sqrt(1-x^3)$
Ho provato con la sostituzione ponendo $(1-x^3)=T$ ma senza soluzione in quanto avrei dx= dt/3x^2
quindi $\int sqrt(t) dt/(3x^2)$ Ora qui non saprei come procedere, potrei scrivere $sqrt(t)= t^(1/2)$ e potrei anche portare fuori dall'integrale 1/3 avendo
$1/3 \int sqrt(t) dt/(x^2)$
ma non credo ho risolto qualcosa. Mi sapreste dire qualcosa? Forse mi sfugge qualche formula?
$\int sqrt(1-x^3)$
Ho provato con la sostituzione ponendo $(1-x^3)=T$ ma senza soluzione in quanto avrei dx= dt/3x^2
quindi $\int sqrt(t) dt/(3x^2)$ Ora qui non saprei come procedere, potrei scrivere $sqrt(t)= t^(1/2)$ e potrei anche portare fuori dall'integrale 1/3 avendo
$1/3 \int sqrt(t) dt/(x^2)$
ma non credo ho risolto qualcosa. Mi sapreste dire qualcosa? Forse mi sfugge qualche formula?
Risposte
"ryo87":
dx= dt/3x^2
Stai attento qui.
Né alle superiori, né all'università qualcuno si è degnato di spiegarmi il cambio di variabile negli integrali in grazia divina. L'ho capito da me al terzo anno di uni...
Comunque il punto è questo. Quando fai una sostituzione, poni
$f(x)=t$
dove, nel nostro caso $f(x)=1-x^3$ se non erro.
Per trovare il $dt$ devi risolvere rispetto a $x$ ottenendo
$x^3 = 1-t$, cioè $x= \root(3)(1-t)$
a questo punto hai
$dx=(\root(3)(1-t))' dt$.
(ti lascio derivare quell'affare sotto radice terza...)
In pratica, una volta posto $f(x)=t$ nell'integrale, devi esplicitare la $x$ per poi derivare ambo i membri per vedere "l'equivalente $dt$".
Non sono sicurissimo che quell'integrale indefinito sia elementare.
Da dove spunta fuori?
Da dove spunta fuori?
"gugo82":
Non sono sicurissimo che quell'integrale indefinito sia elementare.
Effettivamente, ora che l'hai detto, ho anche io qualche dubbio. In tal caso qualsiasi sostituzione non servirebbe proprio a niente...
Beh non so che integrale sia, ma è uscito nell'esame di istituzioni di matematica... e non ho idea di come si faccia, per il derivare la radice 3 di 1-t dovrebbe essere $ 1/(3(t^(2/3)))$ dove 3(t^2/3) è 3radice cubica di (t^2)
Il problema è che l'integrale assegnato non è razionalizzabile mediante sostituzione.
Infatti, per un (non tanto) noto teorema, un integrale del tipo:
\[
\int x^p\ (ax^r+b)^s\ \text{d} x
\]
(in cui \(a,b,p,r,s\) sono numeri reali ed \(a\neq 0\neq b\)) è riconducibile ad un integrale razionale mediante opportuna sostituzione solo se risulta essere intero almeno uno dei numeri seguenti:
\[
s,\quad \frac{p+1}{r},\quad s+\frac{p+1}{r}\; .
\]
Ora, nel tuo caso hai: \(a=-1\), \(b=1\), \(p=0\), \(r=3\) ed \(s=1/2\); cosicché \(s\) non è intero e però non sono interi nemmeno i due numeri:
\[
\frac{p+1}{r} = \frac{1}{3},\quad s+\frac{p+1}{r}=\frac{5}{6}\; .
\]
Quindi certamente l'integrale non può essere ricondotto all'integrale di una funzione razionale.
Che l'integrale possa non essere proprio elementare mi viene in mente perché il signor Wolf(ram) tira in ballo le funzioni ellittiche e non riesce a semplificare nulla (prova ad andare sul http://www.wolframalpha.com, a digitare integrate sqrt(1-x^3) dx e vedi cosa ne esce fuori)... E la cosa mi sembra strana.
Se è una vecchia traccia, probabilmente il docente ha sbagliato a scrivere e l'ha corretta in aula, però ha pubblicato la traccia errata sul sito. Ogni tanto capita.
Prova a chiedere lumi al prof.
Infatti, per un (non tanto) noto teorema, un integrale del tipo:
\[
\int x^p\ (ax^r+b)^s\ \text{d} x
\]
(in cui \(a,b,p,r,s\) sono numeri reali ed \(a\neq 0\neq b\)) è riconducibile ad un integrale razionale mediante opportuna sostituzione solo se risulta essere intero almeno uno dei numeri seguenti:
\[
s,\quad \frac{p+1}{r},\quad s+\frac{p+1}{r}\; .
\]
Ora, nel tuo caso hai: \(a=-1\), \(b=1\), \(p=0\), \(r=3\) ed \(s=1/2\); cosicché \(s\) non è intero e però non sono interi nemmeno i due numeri:
\[
\frac{p+1}{r} = \frac{1}{3},\quad s+\frac{p+1}{r}=\frac{5}{6}\; .
\]
Quindi certamente l'integrale non può essere ricondotto all'integrale di una funzione razionale.
Che l'integrale possa non essere proprio elementare mi viene in mente perché il signor Wolf(ram) tira in ballo le funzioni ellittiche e non riesce a semplificare nulla (prova ad andare sul http://www.wolframalpha.com, a digitare integrate sqrt(1-x^3) dx e vedi cosa ne esce fuori)... E la cosa mi sembra strana.
Se è una vecchia traccia, probabilmente il docente ha sbagliato a scrivere e l'ha corretta in aula, però ha pubblicato la traccia errata sul sito. Ogni tanto capita.
Prova a chiedere lumi al prof.
Si vedrò, Grazie della disponibilità.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo