Problema con primitiva...[abbastanza urgente]
Ragazzi ho un problema col seguente esercizio
Calcolare la primitiva $F(x)$ che si annulla in $x=0$ della funzione (dipendente dal parametro reale k) $ f(x)=(3-kx+x^3)/(4-x^2) $. Determinare, se possibile, $k$ in modo tale che $F(x)$ abbia un minimo relativo per $x=-1$.
Come prima cosa mi sono trovato la primitiva $F(x)$ facendo l'integrale di $f(x)$ e viene $ -1/2x^2-(11-2k)/4log(2-x)-(5-2k)/4log(2+x)+c $
Poi ho posto $F(0)=0$ e mi sono trovato $c=(4-k)log(2)$, quindi dovrei aver risolto la prima parte del problema così, scrivendo che la primitiva che si annulla in $x=0$ è $F(x)=-1/2x^2-(11-2k)/4log(2-x)-(5-2k)/4log(2+x)+(4-k)log(2) $
Sono andato avanti ponendo $f(-1)=0$ e mi sono trovato $k=-2$.
Dopodichè ho studiato il segno della derivata di $F(x)$ ossia, il segno della funzione data, solo che al posto di $k$ ho messo $-2$.
Quindi, ricapitolando, trovatomi $k$, ho scritto $ f(x)=(3+2x+x^3)/(4-x^2)>0 $ e dallo studio ho trovato un minimo in $-1$ (oltre a due massimi che però non mi interessano)
dato che non ci sono le soluzioni e non so neanche come andarlo a verificare(non credo wolfram faccia anche ciò) come ultima risorsa chiedo il vostro parere, è corretto come ragionamento/procedimento?
spero possiate rispondere il prima possibile, grazie mille
Calcolare la primitiva $F(x)$ che si annulla in $x=0$ della funzione (dipendente dal parametro reale k) $ f(x)=(3-kx+x^3)/(4-x^2) $. Determinare, se possibile, $k$ in modo tale che $F(x)$ abbia un minimo relativo per $x=-1$.
Come prima cosa mi sono trovato la primitiva $F(x)$ facendo l'integrale di $f(x)$ e viene $ -1/2x^2-(11-2k)/4log(2-x)-(5-2k)/4log(2+x)+c $
Poi ho posto $F(0)=0$ e mi sono trovato $c=(4-k)log(2)$, quindi dovrei aver risolto la prima parte del problema così, scrivendo che la primitiva che si annulla in $x=0$ è $F(x)=-1/2x^2-(11-2k)/4log(2-x)-(5-2k)/4log(2+x)+(4-k)log(2) $
Sono andato avanti ponendo $f(-1)=0$ e mi sono trovato $k=-2$.
Dopodichè ho studiato il segno della derivata di $F(x)$ ossia, il segno della funzione data, solo che al posto di $k$ ho messo $-2$.
Quindi, ricapitolando, trovatomi $k$, ho scritto $ f(x)=(3+2x+x^3)/(4-x^2)>0 $ e dallo studio ho trovato un minimo in $-1$ (oltre a due massimi che però non mi interessano)
dato che non ci sono le soluzioni e non so neanche come andarlo a verificare(non credo wolfram faccia anche ciò) come ultima risorsa chiedo il vostro parere, è corretto come ragionamento/procedimento?
spero possiate rispondere il prima possibile, grazie mille

Risposte
il ragionamento è impeccabile.
si, se i conti son giusti direi tutto a posto.
ok, bene, meno male. c'ho messo quasi un paio d'ore per farlo(soprattutto l'integrale) ma l'importante è che il ragionamento è giusto(all'esame ci dovrei mettere sui 20 minuti, 30 a dir tanto)
il problema sorge quando vado a fare il grafico di $F(x)$ con $c=(4-k)log(2)$ e $k=-2$, perchè, secondo lo studio della derivata, $F(x)$ dovrebbe essere crescente da $-oo$ a $-2$, decrescente tra $-2$ e $-1$, nuovamente crescente tra $-1$ e $2$ e infine decrescente da $2$ a $oo$. invece con qualsiasi calcolatrice grafica questa alternanza non viene rispettata.
Avrò sbagliato qualcosa nei calcoli
il problema sorge quando vado a fare il grafico di $F(x)$ con $c=(4-k)log(2)$ e $k=-2$, perchè, secondo lo studio della derivata, $F(x)$ dovrebbe essere crescente da $-oo$ a $-2$, decrescente tra $-2$ e $-1$, nuovamente crescente tra $-1$ e $2$ e infine decrescente da $2$ a $oo$. invece con qualsiasi calcolatrice grafica questa alternanza non viene rispettata.
Avrò sbagliato qualcosa nei calcoli
ho fatto fare i conti a wolfram e viene $int (3-k x+x^3)/(4-x^2) dx = 1/4 ((2 k-11) log(2-x)+(2 k-5) log(x+2)-2 x^2)+c$
vedi magari se con questa primitiva ti viene.
Comunque confermo, conosci il procedimento, ora allenati a fare conti velocemente. Ho ridato analisi 2 per 3 volte proprio perchè ero troppo lento a fare i conti, che palle... non fare come me
vedi magari se con questa primitiva ti viene.
Comunque confermo, conosci il procedimento, ora allenati a fare conti velocemente. Ho ridato analisi 2 per 3 volte proprio perchè ero troppo lento a fare i conti, che palle... non fare come me

si, avevo controllato anche io l'integrale con wolfram, e in pratica è uguale a quello che ho trovato io, cambia solo la forma in cui è scritto...boh...domani provo a rifare con calma tutti i calcoli allora
il bello è che qui stiamo ancora con analisi 1, analisi 2 la faccio il prossimo anno
il compito è bello lungo e corposo(c'è anche la teoria con teorema e dimostrazione) e il tempo massimo sono 3 ore, ma provando i compiti passati in quel tempo riesco a fare 1/3 del compito(lo studio di funzioni è la parte più complicata perchè dà delle funzioni assurde, per le quali ci metti 7 minuti se va bene per calcolarti solo la derivata prima o seconda)
bisognerà esercitarsi un bel pò
il bello è che qui stiamo ancora con analisi 1, analisi 2 la faccio il prossimo anno

il compito è bello lungo e corposo(c'è anche la teoria con teorema e dimostrazione) e il tempo massimo sono 3 ore, ma provando i compiti passati in quel tempo riesco a fare 1/3 del compito(lo studio di funzioni è la parte più complicata perchè dà delle funzioni assurde, per le quali ci metti 7 minuti se va bene per calcolarti solo la derivata prima o seconda)


"simo954":
ok, bene, meno male. c'ho messo quasi un paio d'ore per farlo(soprattutto l'integrale)
per fare questi integrali occorre un po' di calma...se osservate bene la funzione, perdete un minuto a ragionare vedrete che si risolve tutto facilmente..io ci ho messo poco più d 3 minuti per rimaneggiare la funzione così...e sono tutti integrali immediati ora:
$(3-kx+x^3)/(4-x^2)=(-x(4-x^2)+(4-k)x+3)/(4-x^2)=$
$=-x-(4-k)/2(-2x)/(4-x^2)-3/4(-1)/(2-x)+3/4(1)/(2+x)$
Ps: non ho fatto ulteriori conti o scomposizioni ma solo i passaggi che vedete qui..quindi spero di non aver commesso errori di distrazione
ok il problema è risolto, anche dal punto di vista grafico
grazie per l'aiuto
magari tommik a vederle queste cose, l'occhio ancora non è molto preparato, ed è raro infatti che mi accorgo di quello che otterrò se farò un determinato passaggio e devo abituare anche la testa a ragionare in un determinato modo. alle spalle ho il classico quindi questa forma menti mi è un pò estranea al momento

grazie per l'aiuto

magari tommik a vederle queste cose, l'occhio ancora non è molto preparato, ed è raro infatti che mi accorgo di quello che otterrò se farò un determinato passaggio e devo abituare anche la testa a ragionare in un determinato modo. alle spalle ho il classico quindi questa forma menti mi è un pò estranea al momento
