Problema con limite (forma inderminata $infty*0$)

[oli3]

Ho un problema con la risolzione di questo limite...
$lim_(x->-1^+)e^(1/(x+1))*log|x|$
Qualcuno mi può aiutare? Ho provato a ricondurlo a qualche limite fondamentale ma ci arrivo sempre vicino, mai al dunque. Sono riuscito a farlo diventare così una volta (però non garantisco che fosse giusto il procedimento
$lim_(x->+infty)e^((e^z)/(-z))$
ma anche da questa forma non ne esco..
Riuscite a risolverlo e a spiegarmelo? Grazie!

[Seneca1]

"oli":Ho un problema con la risolzione di questo limite...
$lim_(x->-1^+)e^(1/(x+1))*log|x|$
Qualcuno mi può aiutare? Ho provato a ricondurlo a qualche limite fondamentale ma ci arrivo sempre vicino, mai al dunque. Sono riuscito a farlo diventare così una volta (però non garantisco che fosse giusto il procedimento
$lim_(x->+infty)e^((e^z)/(-z))$
ma anche da questa forma non ne esco..
Riuscite a risolverlo e a spiegarmelo? Grazie!

$lim_(x->-1^+)e^(1/(x+1))*log|x|$

Salvo sviste, credo sia abbastanza banale.

$lim_(x->-1^+) log[ |x|^(e^(1/(x+1)))]$

Basta capire come risolvere

$lim_(x->-1^+) | x |^(e^(1/(x+1)))$

In un intorno destro di $-1$ posso considerare $|x|$ come $-x$

$lim_(x->-1^+) (-x)^(e^(1/(x+1)))$

Sostituzione:

$1/( x + 1) = - t$

$x = - (1/t + 1)$

Per $x -> -1^+$, $ t -> -oo $

$lim_(t->-oo) (1 + 1/t)^(e^-t)$

Ora è più trattabile?

[oli3]

Grazie grazie grazie! Mmm ma ora come faccio a ricondurlo al limite notevole $lim_(x->-infty)(1+1/x)^x=e$?
Grazie ancora (soprattutto per la pazienza)

[Seneca1]

$lim_(t->-oo) (1 + 1/t)^(e^-t)$

Del limite su cui finora abbiamo lavorato, se ben ricordi, dobbiamo prendere il logaritmo.

Tanto vale scrivere la funzione come segue:

$y = (1 + 1/t)^(e^-t)$

$log y = log(1 + 1/t)/e^(t)$

$lim_( t -> -oo) log(1 + 1/t)/e^(t) = lim_(x->-1^+)e^(1/(x+1))*log|x|$

A questo punto puoi avvalerti del teorema di De L'Hospital, se sai derivare.

Oppure...

$lim_( t -> -oo) t/t * log(1 + 1/t)/e^(t)$


$lim_( t -> -oo) log[ (1 + 1/t)^t]/(t*e^(t))$

Il numeratore $-> 1$ mentre il denominatore è una forma indeterminata del tipo $"["oo*0"]"$.

Non è poi così tragico. $ t = - z$

$lim_( z -> +oo ) - (z / e^(z)) = 0$ , infatti l'esponenziale in base $e$ è un infinito di ordine superiore rispetto ad ogni potenza $x^(\alpha)$ (ordine soprareale).


Quindi il rapporto $log[ (1 + 1/t)^t]/(t*e^(t)) -> -oo$, per $t->-oo$.

Ed ecco giunti alla fine delle nostre fatiche.

[oli3]

Grazie ora va meglio!