Problema con limite e parametro reale
Ciao! Ho da calcolare un limite con parametri reali, non posso usare i polinomi di Taylor. Arrivo ad un certo punto e non so più come andare avanti. In sostanza mi trovo di fronte ad una forma indeterminata applicando i limiti notevoli.
Il limite in questione è
\(\displaystyle \forall \alpha>0 \)
\(\displaystyle \lim_{x->0^+}{\frac{((1+x)^\alpha -1)(\sin(x))^\alpha}{x^\alpha - \ln(1+x^a)} } \)
Raccogliendo a fattor comune \(\displaystyle x^\alpha \) e applicando il limite notevole del seno cioè \(\displaystyle \lim_{x->0}{\frac{\sin(x)}{x}}=1 \) ho che
\(\displaystyle \lim_{x->0^+}{\frac{((1+x)^\alpha -1)(\sin(x))^\alpha}{x^\alpha - \ln(1+x^\alpha)} } = \lim_{x->0^+}{\frac{((1+x)^\alpha -1)}{1 - \frac{\ln(1+x^\alpha)}{x^\alpha}} } \)
A questo punto moltiplico sopra e sotto per x, avvalendomi del limite notevole \(\displaystyle \lim_{x->0}{\frac{(1+x)^\alpha -1}{x}} = \alpha \) ottengo che
\(\displaystyle \lim_{x->0^+}{\frac{((1+x)^\alpha -1)}{1 - \frac{\ln(1+x^\alpha)}{x^\alpha}} } = \lim_{x->0^+}{\frac{\alpha \cdotp x}{1 - \frac{\ln(1+x^\alpha)}{x^\alpha}} } \)
A denominatore ho un altro limite notevole, ovvero \(\displaystyle \lim_{x->0}{\frac{\ln(1+x^\alpha)}{x^\alpha} } = 1 \), ma in questo modo mi trovo di fronte ad una forma indeterminata, ho sbagliato qualcosa? Che strategia devo usare?
Non mi interessa la soluzione completa, vorrei solo capire
Grazie mille in anticipo del vostro interesse
Il limite in questione è
\(\displaystyle \forall \alpha>0 \)
\(\displaystyle \lim_{x->0^+}{\frac{((1+x)^\alpha -1)(\sin(x))^\alpha}{x^\alpha - \ln(1+x^a)} } \)
Raccogliendo a fattor comune \(\displaystyle x^\alpha \) e applicando il limite notevole del seno cioè \(\displaystyle \lim_{x->0}{\frac{\sin(x)}{x}}=1 \) ho che
\(\displaystyle \lim_{x->0^+}{\frac{((1+x)^\alpha -1)(\sin(x))^\alpha}{x^\alpha - \ln(1+x^\alpha)} } = \lim_{x->0^+}{\frac{((1+x)^\alpha -1)}{1 - \frac{\ln(1+x^\alpha)}{x^\alpha}} } \)
A questo punto moltiplico sopra e sotto per x, avvalendomi del limite notevole \(\displaystyle \lim_{x->0}{\frac{(1+x)^\alpha -1}{x}} = \alpha \) ottengo che
\(\displaystyle \lim_{x->0^+}{\frac{((1+x)^\alpha -1)}{1 - \frac{\ln(1+x^\alpha)}{x^\alpha}} } = \lim_{x->0^+}{\frac{\alpha \cdotp x}{1 - \frac{\ln(1+x^\alpha)}{x^\alpha}} } \)
A denominatore ho un altro limite notevole, ovvero \(\displaystyle \lim_{x->0}{\frac{\ln(1+x^\alpha)}{x^\alpha} } = 1 \), ma in questo modo mi trovo di fronte ad una forma indeterminata, ho sbagliato qualcosa? Che strategia devo usare?
Non mi interessa la soluzione completa, vorrei solo capire
Grazie mille in anticipo del vostro interesse
Risposte
Ti ringrazio tantissimo, la tua spiegazione è chiarissima, è proprio quello che cercavo
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