Problema con limite Cesaro

[FrederichN.]

Ciao a tutti ragazzi ho questo limite qui:


$ lim_n (n^2 * n!)^(1/n) /n $

Usando un importante corollario al teorema di Cesaro ottengo:

$lim_n ((n+1)^2 * (n+1)!)/(n^2 * n!) * 1/n$

Che semplificando:

$lim_n (1+1/n)^3$

Per quale motivo tutti i grapher mi segnalano 1/e?

[gugo82]

Perchè è quello il risultato esatto, come puoi controllare usando la formula di Stirling (i.e. [tex]$n!\approx \sqrt{2\pi n}\ (\tfrac{n}{e})^n$[/tex]).

Probabilmente sbagli ad applicare il corollario; ma, se non lo enunci, non so come aiutarti.

[FrederichN.]

Sia $x_n$ una successione positiva tale che $lim_n x_(n+1) /x_n = L$ e $L in R or {-oo,+oo}$
Allora $lim_n (x_n)^(1/n) = L$

Non arrabbiarti sempre con me Gugo, eddai !

[gugo82]

Se vuoi applicare quel teorema, allora, devi scrivere il termine generico della tua successione nella forma [tex]$\text{qualcosa}^\frac{1}{n}$[/tex]; perciò devi prima fare il passaggio:

[tex]$\frac{(n^2\ n!)^\frac{1}{n}}{n} =\left( \frac{n^2\ n!}{n^n}\right)^\frac{1}{n} =\left( \frac{n!}{n^{n-2}}\right)^\frac{1}{n}$[/tex]

e poi usare [tex]$x_n:=\frac{n!}{n^{n-2}}$[/tex].

Vedi se torna adesso.

[FrederichN.]

Perfetto, ti ringrazio Gugo