Problema con limite

[peppozzolo]

ragazzi ci sto sbattendo la testa da tutto il pomeriggio e non riesco a risolverlo , io ho provato in vari modi e mi viene sempre zero
voi come procedereste?

[gugo82]

Metti \(ex\) in evidenza ed usa in qualche modo l'approssimazione di Taylor.

[peppozzolo]

purtroppo questo esercizio e fatto per essere risolto senza l'ausilio di taylor

[Noisemaker]

purtroppo ...non credo! a meno che tu non voglia poi applicare De L'Hopital...(dopo i suggerimenti di Gugo82

[peppozzolo]

e inserito in un capitolo dove non è stato ancora spiegato, quindi penso ci sia un modo
ps anche de l'hopital è escluso

[gugo82]

Si può fare anche coi limiti notevoli, ma probabilmente è uno spargimento di sangue...

Ma invece no:

Visto che l'esponente si riscrive \(1+1/x\), mettendo un po' in evidenza ed usando il limite notevole dell'esponenziale, trovo:
\[
\begin{split}
\frac{x^2}{x+1}\ e^{\frac{x+1}{x}} - ex &= \frac{e x^2}{x+1}\ e^{\frac{1}{x}} - ex \\
&= \frac{ex}{x+1}\ \left( x\ e^{\frac{1}{x}} - (x+1)\right) \\
&= \frac{ex}{x+1}\ \left( x\ e^{\frac{1}{x}} - x -1\right) \\
&= \underbrace{\frac{ex}{x+1}}_{\color{red}{\to e}}\ \Big( \underbrace{\frac{e^{\frac{1}{x}} - 1}{\frac{1}{x}}}_{\color{red}{\to 1}} -1\Big) \\
&= 0\; .
\end{split}
\]

[peppozzolo]

scusami ma non c'è un errore nel primo passaggio non dovrebbe esse e^(1+1/x) e quindi l'intero limite dovrebbe fare 0, grazie ancora per l'attenzione

[gugo82]

Sì... Ma vabbé la tecnica è la stessa.