Problema con le somme.
Un saluto a tutti sto piano piano prendendo un po' di confidenza con la notazione di Einstain. E' un po' complicato ...... quindi volevo chiedervi. Se trovo una scrittura così:
$a_{jk}\xi_j\xi_k$
come devo interpretarla?
Prima faccio il prodotto tra la matrice $a_{ik}$ e il vettore $\xi_j$ qui mi uscirà un vettore $\xi_k$ e poi è un prodotto scalare tra $\xi_k\xi_k$ ?
Mi fareste veramente un grande piacere a rispondermi.
Vi ringrazio anticipatamente di tutto.
Un saluto
Stefano.
$a_{jk}\xi_j\xi_k$
come devo interpretarla?
Prima faccio il prodotto tra la matrice $a_{ik}$ e il vettore $\xi_j$ qui mi uscirà un vettore $\xi_k$ e poi è un prodotto scalare tra $\xi_k\xi_k$ ?
Mi fareste veramente un grande piacere a rispondermi.
Vi ringrazio anticipatamente di tutto.
Un saluto
Stefano.
Risposte
Io nemmeno ho mai padroneggiato bene questa notazione (che invero odio); credo comunque che si possa interpretare come l'espressione in coordinate del prodotto scalare [tex]$\langle A\xi ,\xi \rangle$[/tex], in cui [tex]$A$[/tex] è l'endomorfismo dello spazio vettoriale dove lavori rappresentato, nella base scelta, dalla matrice [tex]$(a_{ij})$[/tex].
Ah ok ..... perfetto ...... allora se è così è tutto abbastanza chiaro!
Grazie mille!
Grazie mille!
Però ora non mi torna più nulla ...... 
(del senso matematico) Perchè prosegue dicendo:
Sia $\Omega$ aperto connesso di $R^m$ . Sia $a_{ij}(x)$ limitato e continuo in $\Omega$ allora:
Per il mio senso comune ho detto: la matrice $a_{ij}(x)$ mi identifica un operatore su $\Omega$. Se l'operatore è limitato allora posso scriverne la definizione:
$\frac{||Ax||}{||x||}\leq \nu$ con $\nu >0$
quindi ottengo la seguente disugualianza:
$||Ax||\leq \nu||x||$ cioè
$a_{ij}(x)x_ix_j \leq x_j x_j$
invece sul libro che ho la disugualianza è scritta col verso opposto! :S MA PERCHE'!!!!
$a_{ij}(x)x_ix_j \geq x_j x_j$
(del senso matematico) Perchè prosegue dicendo: Sia $\Omega$ aperto connesso di $R^m$ . Sia $a_{ij}(x)$ limitato e continuo in $\Omega$ allora:
Per il mio senso comune ho detto: la matrice $a_{ij}(x)$ mi identifica un operatore su $\Omega$. Se l'operatore è limitato allora posso scriverne la definizione:
$\frac{||Ax||}{||x||}\leq \nu$ con $\nu >0$
quindi ottengo la seguente disugualianza:
$||Ax||\leq \nu||x||$ cioè
$a_{ij}(x)x_ix_j \leq x_j x_j$
invece sul libro che ho la disugualianza è scritta col verso opposto! :S MA PERCHE'!!!!
$a_{ij}(x)x_ix_j \geq x_j x_j$
Per dirla nel gergo delle PDE, [tex]$a_{ij} (x)\ x_i x_j \geq x_i x_i$[/tex] è una "condizione di ellitticità"; non credo c'entri nulla la limitatezza, giacché un operatore può essere limitato senza essere ellittico.
Ad esempio prendi l'operatore [tex]$A:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$[/tex] associato nella base canonica alla matrice [tex]$\begin{pmatrix} 0 &1\\ -1 &0\end{pmatrix}$[/tex] (volendo visualizzare, è una rotazione di [tex]$\tfrac{\pi}{2}$[/tex]): hai [tex]$\langle Ax,x \rangle =0$[/tex], quindi non è vero che [tex]$a_{ij}\ x_i x_j =\langle Ax,x \rangle \geq |x|^2 =x_i x_i$[/tex].
P.S.: Ma perchè hai messo il thread in Algebra? Non mi sembra sia proprio la sezione più adatta...
Ad esempio prendi l'operatore [tex]$A:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$[/tex] associato nella base canonica alla matrice [tex]$\begin{pmatrix} 0 &1\\ -1 &0\end{pmatrix}$[/tex] (volendo visualizzare, è una rotazione di [tex]$\tfrac{\pi}{2}$[/tex]): hai [tex]$\langle Ax,x \rangle =0$[/tex], quindi non è vero che [tex]$a_{ij}\ x_i x_j =\langle Ax,x \rangle \geq |x|^2 =x_i x_i$[/tex].
P.S.: Ma perchè hai messo il thread in Algebra? Non mi sembra sia proprio la sezione più adatta...
Cacchio hai ragione ...... basta scrivere la matrice dei coefficienti e poi imporre una segnatora del tipo (n,0,0). Così esce direttamente la condizione che ho scritto prima. Mannaggia.
Grazie.
Si effettivamente dopo l'attenzione si è spostata sulle PDE, però la domanda iniziale era solo sul problema delle somme con la notazione di Einstain. Quindi per quello che ho preferito metterla qua. Solo la parte relativa alle sommatorie non mi sembrava essere un argomento proprio di analisi ... anche se poi siamo andati a finire in quel posto.
Grazie.
Si effettivamente dopo l'attenzione si è spostata sulle PDE, però la domanda iniziale era solo sul problema delle somme con la notazione di Einstain. Quindi per quello che ho preferito metterla qua. Solo la parte relativa alle sommatorie non mi sembrava essere un argomento proprio di analisi ... anche se poi siamo andati a finire in quel posto.
Ho spostato in analisi.
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