Problema con le serie numeriche
Salve a tutti. Svolgendo un problema (che ritenevo anche semplice......) che fa uso delle serie mi ritrovo un risultato strano. Ringraziando in anticipo, spero che mi aiuterete. 
Da una torta viene prima tagliata una porzione $p<1$ del totale, poi una porzione $p$ della parte rimasta, e così via, asportando ogni volta una porzione $p$ del rimanente. Calcolare quanta ne rimane alla fine.
[da qui sono solo mie supposizioni]
Allora, io ho pensato al totale come al 100% e quindi, visto che $p<1$ e ragionevolmente $p>0 rArr 0
$1-p$
Dopodiché si toglie (sempre mettendo quella che rimane):
$1-p-(1-p)p$ e così via.... $1-p-(1-p)p-(1-p)p^2...$
Mettendo in evidenza la prima differenza: $(1-p)-(1-p)p-(1-p)p^2...$
si può raccogliere $(1-p)$ e diventa: $(1-p)(1-p-p^2-p^3...) $
Poiché nella seconda parentesi non posso parlare di una serie visto l'1 che è positivo, ho pensato di scriverla così:
$(1-p)[(-1-p-p^2-p^3...)+2] hArr (1-p)[-(1+p+p^2+p^3+...)+2] hArr (1-p)(- sum_(k=0)^(\infty)p^k +2 )$
Poiché $0
Riscrivendo: $(1-p)(\frac{-1}{1-p}+2) hArr \cancel{(1-p)}\frac{1-2p}{\cancel{1-p}}$
E quindi il risultato è: $1-2p$.
Secondo il testo il risultato è zero.
Se vi è possibile, datemi una mano. Grazie.
Da una torta viene prima tagliata una porzione $p<1$ del totale, poi una porzione $p$ della parte rimasta, e così via, asportando ogni volta una porzione $p$ del rimanente. Calcolare quanta ne rimane alla fine.
[da qui sono solo mie supposizioni]
Allora, io ho pensato al totale come al 100% e quindi, visto che $p<1$ e ragionevolmente $p>0 rArr 0
$1-p$
Dopodiché si toglie (sempre mettendo quella che rimane):
$1-p-(1-p)p$ e così via.... $1-p-(1-p)p-(1-p)p^2...$
Mettendo in evidenza la prima differenza: $(1-p)-(1-p)p-(1-p)p^2...$
si può raccogliere $(1-p)$ e diventa: $(1-p)(1-p-p^2-p^3...) $
Poiché nella seconda parentesi non posso parlare di una serie visto l'1 che è positivo, ho pensato di scriverla così:
$(1-p)[(-1-p-p^2-p^3...)+2] hArr (1-p)[-(1+p+p^2+p^3+...)+2] hArr (1-p)(- sum_(k=0)^(\infty)p^k +2 )$
Poiché $0
Riscrivendo: $(1-p)(\frac{-1}{1-p}+2) hArr \cancel{(1-p)}\frac{1-2p}{\cancel{1-p}}$
E quindi il risultato è: $1-2p$.
Secondo il testo il risultato è zero.
Se vi è possibile, datemi una mano. Grazie.
Risposte
"LucaDeVita":
Dopodiché si toglie (sempre mettendo quella che rimane):
$1-p-(1-p)p$ e così via.... $1-p-(1-p)p-(1-p)p^2...$
Credo che il problema sia qui. Tu consideri come parte rimanente $(1-p)p$ e la moltiplichi per $p$. In realtà la parte rimanente è $1-p-(1-p)p$, dovresti moltiplicare tutto questo per $p$. Forse però ti è più comodo ragionare in modo diverso: se tolgo una porzione $p$ vuol dire che la porzione rimanente è $q=1-p$...
Sì giustissimo, grazie mille.
Effettivamente è proprio come dici tu.
Il valore corretto è:
$1-[1+(1-p)+(1-p)^2+(1-p)^3+...]p hArr 1- p \cdot sum_(k = 0)^(\infty)(1-p)^k $
$sum_(k = 0)^(\infty)(1-p)^k=1/p rArr 1-p 1/p=0$.
Grazie ancora.
Effettivamente è proprio come dici tu.
Il valore corretto è:
$1-[1+(1-p)+(1-p)^2+(1-p)^3+...]p hArr 1- p \cdot sum_(k = 0)^(\infty)(1-p)^k $
$sum_(k = 0)^(\infty)(1-p)^k=1/p rArr 1-p 1/p=0$.
Grazie ancora.
Figurati! Ti propongo anche il modo in cui l'avrei risolto io, che mi sembra un po' meno cervellotico. Considerando come detto sopra $q=1-p$, $q$ è proprio la porzione di torta che rimane di volta in volta. Quindi la prima volta che prendo una porzione $p$ di torta me rimane una porzione $q$, se la prendo un'altra volta me ne rimane una porzione pari a $q^{2}$. Infine, dopo $n$ volte me ne rimarrà $q^{n}$ e, essendo $0
$$ 1- p \cdot \sum_{k = 0}^{2}(1-p)^k = 1-p[1+(1-p)]=1-2p+p^{2}=(1-p)^{2}=q^{2} $$
), puoi controllare ad esempio che, con la formula da te trovata, dopo 2 "passi" rimane una porzione di torta pari a $$ 1- p \cdot \sum_{k = 0}^{2}(1-p)^k = 1-p[1+(1-p)]=1-2p+p^{2}=(1-p)^{2}=q^{2} $$
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