Problema con le serie....
Ciao a tutti, ho alcuni problemi con le serie: in pratica non ho ben capito come si fa la somma di serie.
Faccio un paio di esempi:
Se ho $ \sum_{n=0}^{\infty}1/2^n$ vabbè che si vede anche a occhio che la somma è 2, però se volessi fare coi calcoli faccio $(1/2)^n $ che è la serie geometrica. Siccome la serie geometrica ha somma $1/(1-x)$ la mia serie diventa $ 1/(1-1/2) $ che risolvendo in effetti fa $2$.
Questo modo di ragionare è corretto?
Il problema sorge se invece ad esempio ho $ \sum_{n=1}^{\infty}9/10^n$. Se io porto fuori dalla sommatoria il 9, perchè è una costante, otterrei di nuovo la serie geometrica $ 9 * \sum_{n=1}^{\infty}(1/10)^n$
Risolvendo nello stesso modo di prima otterrei come risultato $10$... ma ovviamente è sbagliato perchè si vede anche ad occhio che deve fare $1$... in cosa sto sbagliando?
Faccio un paio di esempi:
Se ho $ \sum_{n=0}^{\infty}1/2^n$ vabbè che si vede anche a occhio che la somma è 2, però se volessi fare coi calcoli faccio $(1/2)^n $ che è la serie geometrica. Siccome la serie geometrica ha somma $1/(1-x)$ la mia serie diventa $ 1/(1-1/2) $ che risolvendo in effetti fa $2$.
Questo modo di ragionare è corretto?
Il problema sorge se invece ad esempio ho $ \sum_{n=1}^{\infty}9/10^n$. Se io porto fuori dalla sommatoria il 9, perchè è una costante, otterrei di nuovo la serie geometrica $ 9 * \sum_{n=1}^{\infty}(1/10)^n$
Risolvendo nello stesso modo di prima otterrei come risultato $10$... ma ovviamente è sbagliato perchè si vede anche ad occhio che deve fare $1$... in cosa sto sbagliando?
Risposte
C'è un differenza tra le due serie; la prima è così fatta : $1+1/2+1/4+....$e quindi il primo termine è 1 e la somma è data da$ 1/(1-1/2)=2.$
La seconda serie anche dopo aver raccolto il 9 si presenta così :$ 1/10+1/100+1/1000+...$; va ricondotta al caso precedente e poi applicata la formula per il calcolo della somma :
Raccogli anche $1/10$ e allora avrai $1+1/10+1/100+...$ .
Quindi la somma è $ 9/10*1/(1-1/10)=1$.
La seconda serie anche dopo aver raccolto il 9 si presenta così :$ 1/10+1/100+1/1000+...$; va ricondotta al caso precedente e poi applicata la formula per il calcolo della somma :
Raccogli anche $1/10$ e allora avrai $1+1/10+1/100+...$ .
Quindi la somma è $ 9/10*1/(1-1/10)=1$.
Ah! Ho capito grazie mille... certo che potrebbero anche spiegarle a lezione... vabbè lasciamo stare, comunque grazie mille veramente
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