Problema con laplaciano
Ciao a tutti, devo risolvere il problema:
$Delta u(x,y)=e^(x^2+y^2)$ nella circonferenza di raggio R
$u(x,y)=y$ sul bordo
Sono subito passato a coordinate polari:
$u_(rr)+1/r u_r + 1/(r^2) u_(thetatheta) = e^(r^2)
$u(r,theta)=rsintheta$
ma non riesco ad andare avanti. Vedendo che forma ha il laplaciano, ho pensato di separare le variabili $u(r,theta)=v(r)w(theta)$ e mettere $w(theta)=1$ e ottengo quindi: $v_(rr)+1/r v_r = e^(r^2)$. La soluzione dell'omogenea è $v(r)=k log r + c$, ma variando le costanti non ne trovo una particolare, e neanche provando una soluzione a occhio tipo $f(r)e^(r^2)$. Che si può fare??
Grazie
$Delta u(x,y)=e^(x^2+y^2)$ nella circonferenza di raggio R
$u(x,y)=y$ sul bordo
Sono subito passato a coordinate polari:
$u_(rr)+1/r u_r + 1/(r^2) u_(thetatheta) = e^(r^2)
$u(r,theta)=rsintheta$
ma non riesco ad andare avanti. Vedendo che forma ha il laplaciano, ho pensato di separare le variabili $u(r,theta)=v(r)w(theta)$ e mettere $w(theta)=1$ e ottengo quindi: $v_(rr)+1/r v_r = e^(r^2)$. La soluzione dell'omogenea è $v(r)=k log r + c$, ma variando le costanti non ne trovo una particolare, e neanche provando una soluzione a occhio tipo $f(r)e^(r^2)$. Che si può fare??
Grazie
Risposte
L'idea è quella di scrivere [tex]$u$[/tex] come somma di una funzione radiale [tex]$v$[/tex], che risolve l'equazione di Poisson assegnata (cioè [tex]$\Delta v(x,y) =e^{x^2+y^2}$[/tex]) e verifica condizione nulla sul bordo, e di una funzione [tex]$w$[/tex], che risolve l'equazione di Laplace (ossia [tex]$\Delta w(x,y)=0$[/tex]) e verifica la condizione al bordo [tex]$w(x,y)=y$[/tex].
Per quanto riguarda [tex]$w$[/tex], si vede ad occhio che [tex]$w(x,y)=y$[/tex]: infatti tale funzione è armonica e verifica la condizione iniziale, ergo per il teorema di unicità è l'unica soluzione del tuo problema.
Per quanto riguarda [tex]$v$[/tex] stavi procedendo bene, ma ti sei incagliato in una sciocchezza.
Si tratta di risolvere [tex]$v^{\prime \prime} +\frac{1}{r} v^\prime =e^{r^2}$[/tex] con $v$ continua in [tex]$[0,R]$[/tex] e nulla in [tex]$R$[/tex]: poni [tex]$z=v^\prime$[/tex] per abbassare l'ordine della tua equazione, che diventa [tex]$z^\prime +\frac{1}{r}\ z=e^{r^2}$[/tex]; l'integrale generale dell'omogenea è [tex]$z=\frac{k}{r}$[/tex]; variando le costanti arrivi all'equazione [tex]$\gamma^\prime =re^{r^2}$[/tex] che ha la soluzione [tex]$\gamma =\frac{1}{2}\ e^{r^2}$[/tex]; l'integrale generale dell'equazione ausiliaria è [tex]$z=\frac{k}{r} + \frac{e^{r^2}}{2r}$[/tex].
Per ottenere [tex]$v$[/tex] basta integrare [tex]$z$[/tex] rispetto in un intervallo con estremo inferiore variabile in [tex]$[0,R]$[/tex], ottenendo [tex]$v(r)=k\ln r +\int_r^R \frac{e^{\rho^2}}{2\rho}\ \text{d} \rho + c$[/tex].
Tuttavia [tex]$c+k\ln R=0$[/tex] per le condizioni imposte al problema in [tex]$R$[/tex].
A questo punto [tex]$u(x,y)=v(x,y)+w(x,y)$[/tex], come detto all'inizio, ed il gioco è fatto!
*** EDIT: Se non ho sbagliato i conti, c'è un problema di contiuità in [tex]$0$[/tex] da risolvere... Controlla un po'.
Per quanto riguarda [tex]$w$[/tex], si vede ad occhio che [tex]$w(x,y)=y$[/tex]: infatti tale funzione è armonica e verifica la condizione iniziale, ergo per il teorema di unicità è l'unica soluzione del tuo problema.
Per quanto riguarda [tex]$v$[/tex] stavi procedendo bene, ma ti sei incagliato in una sciocchezza.
Si tratta di risolvere [tex]$v^{\prime \prime} +\frac{1}{r} v^\prime =e^{r^2}$[/tex] con $v$ continua in [tex]$[0,R]$[/tex] e nulla in [tex]$R$[/tex]: poni [tex]$z=v^\prime$[/tex] per abbassare l'ordine della tua equazione, che diventa [tex]$z^\prime +\frac{1}{r}\ z=e^{r^2}$[/tex]; l'integrale generale dell'omogenea è [tex]$z=\frac{k}{r}$[/tex]; variando le costanti arrivi all'equazione [tex]$\gamma^\prime =re^{r^2}$[/tex] che ha la soluzione [tex]$\gamma =\frac{1}{2}\ e^{r^2}$[/tex]; l'integrale generale dell'equazione ausiliaria è [tex]$z=\frac{k}{r} + \frac{e^{r^2}}{2r}$[/tex].
Per ottenere [tex]$v$[/tex] basta integrare [tex]$z$[/tex] rispetto in un intervallo con estremo inferiore variabile in [tex]$[0,R]$[/tex], ottenendo [tex]$v(r)=k\ln r +\int_r^R \frac{e^{\rho^2}}{2\rho}\ \text{d} \rho + c$[/tex].
Tuttavia [tex]$c+k\ln R=0$[/tex] per le condizioni imposte al problema in [tex]$R$[/tex].
A questo punto [tex]$u(x,y)=v(x,y)+w(x,y)$[/tex], come detto all'inizio, ed il gioco è fatto!
*** EDIT: Se non ho sbagliato i conti, c'è un problema di contiuità in [tex]$0$[/tex] da risolvere... Controlla un po'.
Perfetto grazie!:D Quindi lascio la soluzione in forma integrale, stavo cercando in tutti i modi di riuscire scrivere l'integrale in un modo non integrale 
e stavo impazzendo
Edit: ho letto ora l'Edit, controllo subito
e stavo impazzendoEdit: ho letto ora l'Edit, controllo subito
Ho pensato a questo: dalle condizioni al bordo trovo $c=-klnR$ e quindi scrivo $v(r) = klnr - klnR + int_r^R e^(rho^2)/(2rho) drho = -k int_r^R 1/(rho)drho + int_r^R e^(rho^2)/(2rho) drho = int_r^R (e^(rho^2) - 2k rho)/(2rho) drho$
Devo fare in modo che non diverga per $r->0$. Allora scelgo $k = 1/2$, e ottengo $lim_(r->0) int_r^R (e^(rho^2) - 1)/(2rho) drho = lim_(r->0) int_r^R (e^(rho^2) - 1)/(rho^2) rho/2 drho$. Ora, $ (e^(rho^2) - 1)/(rho^2)$ si comporta come $1$, quindi tutto l'integrale si comporta come $int_r^R rho/2 drho$ che converge.
Quindi la soluzione finale è con $k = 1/2$ e ho finito.
Che dici? E' corretto?
Grazie ancora!
Devo fare in modo che non diverga per $r->0$. Allora scelgo $k = 1/2$, e ottengo $lim_(r->0) int_r^R (e^(rho^2) - 1)/(2rho) drho = lim_(r->0) int_r^R (e^(rho^2) - 1)/(rho^2) rho/2 drho$. Ora, $ (e^(rho^2) - 1)/(rho^2)$ si comporta come $1$, quindi tutto l'integrale si comporta come $int_r^R rho/2 drho$ che converge.
Quindi la soluzione finale è con $k = 1/2$ e ho finito.
Che dici? E' corretto?
Grazie ancora!
Sì, pare proprio che funzioni... E, ad essere sincero, hai avuto proprio un'ottima idea!
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