Problema con la svolgimento di un limite
salve, ho un piccolo problema con la soluzione del seguente limite:
[tex]\begin{document}
%%% remove comment delimiter ('%') and select language if required
%\selectlanguage{spanish}
\[\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{\sqrt{n+1} } -\frac{n+1}{\sqrt{n}
}[/tex]
io ho risolto come di seguito ma il professore mi ha detto che è sbagliato ma non capisco perchè, potete spiegarmi bene?
[tex]\begin{document}
%%% remove comment delimiter ('%') and select language if required
%\selectlanguage{spanish}
\[\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{\sqrt{n+1} } -\frac{n+1}{\sqrt{n}
} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{\sqrt{n} \sqrt{1+\frac{1}{n} }
} -\frac{n\left(1+\frac{1}{n} \right)}{\sqrt{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to +
\infty } \frac{n}{\sqrt{n} (1)} -\frac{n(1)}{\sqrt{n} } =0\]
\end{document}[/tex]
grazie mille!
[tex]\begin{document}
%%% remove comment delimiter ('%') and select language if required
%\selectlanguage{spanish}
\[\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{\sqrt{n+1} } -\frac{n+1}{\sqrt{n}
}[/tex]
io ho risolto come di seguito ma il professore mi ha detto che è sbagliato ma non capisco perchè, potete spiegarmi bene?
[tex]\begin{document}
%%% remove comment delimiter ('%') and select language if required
%\selectlanguage{spanish}
\[\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{\sqrt{n+1} } -\frac{n+1}{\sqrt{n}
} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{\sqrt{n} \sqrt{1+\frac{1}{n} }
} -\frac{n\left(1+\frac{1}{n} \right)}{\sqrt{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to +
\infty } \frac{n}{\sqrt{n} (1)} -\frac{n(1)}{\sqrt{n} } =0\]
\end{document}[/tex]
grazie mille!
Risposte
Prova a svolgere questo limite con la stessa tecnica e poi ne parliamo:
[tex]$\lim_n \sqrt{n^2+n}-n$[/tex].
[tex]$\lim_n \sqrt{n^2+n}-n$[/tex].
"gugo82":
Prova a svolgere questo limite con la stessa tecnica e poi ne parliamo:
[tex]$\lim_n \sqrt{n^2+n}-n$[/tex].
credo di aver capito che risulterebbe +infinito-infinito...ma puoi spiegarmi a livello teorico perchè in questo caso se raccolgo n, riducendo il limite a n-n non posso dire che si annullano??
se raccolgo n dovrebbe diventare [tex]$\lim_n n\cdot \sqrt{1+\frac{1}{n}}-n$[/tex] dove per n che tende a infinito: [tex]\sqrt{1+0}=1[/tex]
o no?e perché no?
grazie
Fin qui va bene, ma vorrei sapere il risultato finale del limite, se non chiedo troppo.
"gugo82":
Fin qui va bene, ma vorrei sapere il risultato finale del limite, se non chiedo troppo.
Io ti direi "zero" seguendo la mia teoria...
Mi pareva $1/2$
"krek":
Mi pareva $1/2$
......perché?
...ma soprattutto perché non è zero?
"Zaed":
[quote="krek"]Mi pareva $1/2$
......perché?
...ma soprattutto perché non è zero?[/quote]
Esatto, krek.
Spiego per Zaed: il problema della tua tecnica, che è quella di chi è all'inizio dello studio dei limiti, è quello di "approssimare" troppo rozzamente; come dicono i "grandi", praticamente non tieni conto dei termini di ordine superiore ed approssimi tutto al primo ordine.
Ma andiamo piano.
Innanzitutto ecco come si svolge il limite da me proposto correttamente: noti che:
[tex]$\lim_n \sqrt{n^2+n}-n = \lim_n n\ (\sqrt{1+\frac{1}{n}} -1)$[/tex];
il secondo fattore al secondo membro ti dovrebbe far venire subito in mente il limite notevole:
(*) [tex]$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} -1}{x} =\frac{1}{2}$[/tex]
nel quale basta porre [tex]$x=\tfrac{1}{n}$[/tex] per ottenere:
[tex]$\lim_n \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}} -1}{\frac{1}{n}} =\frac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad \lim_n n\ (\sqrt{1+\frac{1}{n}} -1) =\frac{1}{2}$[/tex];
pertanto hai:
[tex]$\lim_n \sqrt{n^2+n}-n = \lim_n n\ (\sqrt{1+\frac{1}{n}} -1)=\frac{1}{2}$[/tex].
Risolto il limite con tutti i crismi, veniamo al discorso delle approssimazioni.
In sostanza il tuo metodo è: prendo ciò che tende ad [tex]$\text{qualcosa di finito}$[/tex] e lo rimpiazzo direttamente con [tex]$\text{qualcosa di finito}$[/tex], indipendentemente da quanto velocemente ciò accada. Ad esempio tra [tex]$a_n:=\sqrt{1+\tfrac{1}{n}}$[/tex], [tex]$b_n:=\cos \tfrac{1}{n}$[/tex] e [tex]$c_n:=\tfrac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}}$[/tex] non vedi alcuna differenza, perchè rimpiazzeresti tutto con [tex]$1$[/tex] al limite.
Ebbene, il discorso non è così semplice, perchè tra le tre successioni indicate come esempio passa una grossa differenza e di questo puoi renderti subito conto usando i limiti notevoli e/o un po' di algebra.
Prendiamo la prima successione [tex]$a_n=\sqrt{1+\tfrac{1}{n}}$[/tex]: evidentemente essa tende ad [tex]$1$[/tex] al limite, però quanto velocemente?
La risposta a questa domanda sta nel limite notevole (*) già richiamato: infatti se vai a valutare al limite la differenza [tex]$a_n-1:=\sqrt{1+\tfrac{1}{n}} -1$[/tex] (che rappresente la distanza tra il termine [tex]$a_n$[/tex] ed il limite [tex]$1$[/tex]) usando il limite notevole trovi che:
[tex]$\lim_n \frac{\sqrt{1+\tfrac{1}{n}} -1}{\frac{1}{n}} =\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \lim_n \frac{\sqrt{1+\tfrac{1}{n}} -1 -\frac{1}{2n}}{\frac{1}{n}} =0$[/tex],
perciò [tex]$\sqrt{1+\tfrac{1}{n}} -1 -\tfrac{1}{2n}$[/tex] è un infinitesimo d'ordine superiore a [tex]$\tfrac{1}{n}$[/tex] (ossia [tex]$\sqrt{1+\tfrac{1}{n}} -1 -\tfrac{1}{2n}$[/tex] tende a zero "più velocemente" di [tex]$\tfrac{1}{n}$[/tex]); questo fatto si esprime anche dicendo che [tex]$\sqrt{1+\tfrac{1}{n}} -1 -\tfrac{1}{2n}$[/tex] è un [tex]$\text{o}$[/tex]-piccolo di [tex]$\tfrac{1}{n}$[/tex] e si scrive:
[tex]$\sqrt{1+\frac{1}{n}} -1 -\frac{1}{2n} =\text{o} \left( \frac{1}{n} \right)$[/tex].
Manipolando un po' algebricamente la precedente uguaglianza trovi:
[tex]$\sqrt{1+\frac{1}{n}} =1 +\frac{1}{2n} +\text{o} \left( \frac{1}{n} \right)$[/tex]
che esprime il fatto che la successione [tex]$a_n$[/tex] si avvicina ad [tex]$1$[/tex] con "velocità" [tex]$\tfrac{1}{2n}$[/tex]; il termine [tex]$\text{o}$[/tex]-piccolo è una quantità che, in prima approssimazione, risulta trascurabile perchè va a [tex]$0$[/tex] più velocemente della "velocità" [tex]$\tfrac{1}{2n}$[/tex].
Proviamo a fare lo stesso discorso per [tex]$b_n=\cos \tfrac{1}{n}$[/tex], che converge anch'essa ad [tex]$1$[/tex], ed andiamo a valutare la successione [tex]$b_n-1:=\cos \tfrac{1}{n} -1$[/tex]: per fare ciò basta usare il limite notevole del coseno:
(**) [tex]$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} =\frac{1}{2}$[/tex],
poiché sostituendo [tex]$x=\tfrac{1}{n}$[/tex] si trova:
[tex]$\lim_n \frac{1-\cos \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} =\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \lim_n \frac{\cos \frac{1}{n} -1 +\frac{1}{2n^2}}{\frac{1}{n^2}} =0$[/tex],
ossia, come prima abbiamo convenuto di scrivere:
[tex]$\cos \frac{1}{n} -1 +\frac{1}{2n^2} =\text{o} \left( \frac{1}{n^2}\right)$[/tex],
ovvero:
[tex]$\cos \frac{1}{n} =1 -\frac{1}{2n^2} +\text{o} \left( \frac{1}{n^2}\right)$[/tex].
Ne consegue che [tex]$\cos \tfrac{1}{n}$[/tex] si avvicina ad [tex]$1$[/tex] con "velocità" [tex]$\tfrac{1}{2n^2}$[/tex], che è molto più rapida della precedente (perchè [tex]$\tfrac{1}{2n^2}$[/tex] decresce a zero più rapidamente di [tex]$\tfrac{1}{2n}$[/tex]).
Per la successione [tex]$c_n$[/tex], che pure converge ad [tex]$1$[/tex], il discorso è molto più semplice: infatti, dato che [tex]$c_n=1+\frac{1}{\sqrt{n}}$[/tex], risulta:
[tex]$\frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}}=1+\frac{1}{\sqrt{n}}$[/tex]
cosicché [tex]$c_n$[/tex] si avvicina ad [tex]$1$[/tex] con "velocità" [tex]$\tfrac{1}{\sqrt{n}}$[/tex], che è molto più lenta delle precedenti due.
Quindi c'è una grossa differenza tra le tre successioni [tex]$a_n$[/tex], [tex]$b_n$[/tex] e [tex]$c_n$[/tex] e tale differenza risiede nel fatto che ognuna di esse tende ad [tex]$1$[/tex] in modo diverso.
Proprio queste diversità diventano importanti nel calcolo di alcuni limiti, come quello che ti ho proposto e quello proposto dal tuo docente, e perciò esse non devono essere fatte fuori da approssimazioni troppo rozze.
Ad esempio, abbiamo visto che [tex]$\lim_n n\ (a_n-1) =\tfrac{1}{2}$[/tex]; cosa sarebbe successo se avessi messo [tex]$b_n$[/tex] o [tex]$c_n$[/tex] al posto di [tex]$a_n$[/tex]?
Nel primo caso avremmo avuto:
[tex]$\lim_n n\cos \frac{1}{n} -n =\lim_n n\ \left( \cos \frac{1}{n} -1\right) =\lim_n n\ \left( \frac{1}{2n^2} +\text{o}(\tfrac{1}{n^2})\right) =0$[/tex]
mentre nel secondo caso:
[tex]$\lim_n \sqrt{n}(\sqrt{n} -1) -n =\lim_n n\ \left( \frac{\sqrt{n} +1}{\sqrt{n}}-1\right) =\lim_n n\ \frac{1}{\sqrt{n}} =+\infty$[/tex],
e, come puoi ben vedere, i risultati sono ben diversi!
***
Per tornare al tuo limite, ti indico la strada: hai:
[tex]$\lim_n \frac{n}{\sqrt{n+1}} -\frac{n+1}{\sqrt{n}}$[/tex],
quindi noti che il secondo addendo si può spezzare in una somma, [tex]$\tfrac{n+1}{\sqrt{n}} =\tfrac{n}{\sqrt{n}} +\tfrac{1}{\sqrt{n}}$[/tex], il cui primo addendo ha il numeratore uguale al numeratore della frazione che figura come primo addendo nel limite: sostituendo e mettendo un po' insieme le cose, il limite assegnato si trasforma in:
[tex]$\lim_n n\ \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} -\frac{1}{\sqrt{n}}\right) -\frac{1}{\sqrt{n}}$[/tex].
In questo nuovo limite, il secondo addendo è infinitesimo, quindi lascialo da parte per ora e concentrati sul primo addendo: hai:
[tex]$n\ \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} -\frac{1}{\sqrt{n}}\right) =\sqrt{n}\ \left( \sqrt{\frac{n}{n+1}} -1\right) = \sqrt{n}\ \left( \sqrt{1-\frac{1}{n+1}} -1\right)$[/tex];
per quanto visto prima hai:
[tex]$\sqrt{1-\frac{1}{n+1}} =1-\frac{1}{2(n+1)} +\text{o} \left( \frac{1}{n+1}\right)$[/tex],
quindi:
[tex]$\lim_n n\ \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} -\frac{1}{\sqrt{n}}\right) =\lim_n \sqrt{n} \left( -\frac{1}{2(n+1)} +\text{o} \left( \frac{1}{n+1}\right) \right) =0$[/tex].
Ne consegue che:
[tex]$\lim_n \frac{n}{\sqrt{n+1}} -\frac{n+1}{\sqrt{n}} =\lim_n n\ \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} -\frac{1}{\sqrt{n}}\right) -\frac{1}{\sqrt{n+1}} = 0-0 =0$[/tex].
Quindi il tuo risultato era giusto, ma il procedimento era sbagliato perchè, come già detto, basato su un'approssimazione in generale fallace.
grazie mille!!mi sembra davvero chiara la tua spiegazione, e molto ben articolata!...è proprio quello che volevo sentire!
...però l'unica cosa che mi sfugge è come fare a capire quando posso fare l'approssimazione (raccogliendo il termine di ordine maggiore) e quando non è possibile!...cioè mi pare di aver capito che nel mio esempio non poso dire che
[tex]\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{\sqrt{n} \sqrt{1+\frac{1}{n} }
} -\frac{n\left(1+\frac{1}{n} \right)}{\sqrt{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to +
\infty } \frac{n}{\sqrt{n} (1)} -\frac{n(1)}{\sqrt{n} }[/tex]
in quanto [tex]\sqrt{1+\frac{1}{n} }[/tex] tende ad 1 più velocemente di [tex]\left(1+\frac{1}{n} \right)[/tex]!giusto?
in questo caso però perchè è possibile usare quel metodo?
[tex]\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^2+n}{n^3+3n^2+1}=\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^2(1+\frac{1}{n})}{n^3(1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^3})}=\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^2(1)}{n^3(1)}[/tex]
infatti mi pare che [tex]1+\frac{1}{n}[/tex] tende ad 1 più velocemente di [tex]1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^3}[/tex]
...però l'unica cosa che mi sfugge è come fare a capire quando posso fare l'approssimazione (raccogliendo il termine di ordine maggiore) e quando non è possibile!...cioè mi pare di aver capito che nel mio esempio non poso dire che
[tex]\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{\sqrt{n} \sqrt{1+\frac{1}{n} }
} -\frac{n\left(1+\frac{1}{n} \right)}{\sqrt{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to +
\infty } \frac{n}{\sqrt{n} (1)} -\frac{n(1)}{\sqrt{n} }[/tex]
in quanto [tex]\sqrt{1+\frac{1}{n} }[/tex] tende ad 1 più velocemente di [tex]\left(1+\frac{1}{n} \right)[/tex]!giusto?
in questo caso però perchè è possibile usare quel metodo?
[tex]\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^2+n}{n^3+3n^2+1}=\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^2(1+\frac{1}{n})}{n^3(1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^3})}=\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^2(1)}{n^3(1)}[/tex]
infatti mi pare che [tex]1+\frac{1}{n}[/tex] tende ad 1 più velocemente di [tex]1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^3}[/tex]
Un approccio più "brutale" e "ignorante" è il seguente:
$\lim_n \sqrt{n^2+n}-n =\lim_n \sqrt{n^2+n}-n *\(sqrt{n^2+n}+n)/(sqrt{n^2+n}+n) =\lim_n \(n^2+n-n^2)/(sqrt{n^2+n}+n) = \lim_n \(n)/(sqrt{n^2+n}+n)= \lim_n \(n)/(n) *1/(sqrt{1+1/n}+1)= \lim_n \1/(sqrt{1+1/n}+1)$
ora siccome il limite del rapporto è uguale al rapporto dei limiti puoi dire che il limite è $\1/2$
$\lim_n \sqrt{n^2+n}-n =\lim_n \sqrt{n^2+n}-n *\(sqrt{n^2+n}+n)/(sqrt{n^2+n}+n) =\lim_n \(n^2+n-n^2)/(sqrt{n^2+n}+n) = \lim_n \(n)/(sqrt{n^2+n}+n)= \lim_n \(n)/(n) *1/(sqrt{1+1/n}+1)= \lim_n \1/(sqrt{1+1/n}+1)$
ora siccome il limite del rapporto è uguale al rapporto dei limiti puoi dire che il limite è $\1/2$
non c'è piu nessuno?!:)
"gugo82":
[quote="Zaed"][quote="krek"]Mi pareva $1/2$
......perché?
...ma soprattutto perché non è zero?[/quote]
Esatto, krek.
Spiego per Zaed: il problema della tua tecnica, che è quella di chi è all'inizio dello studio dei limiti, è quello di "approssimare" troppo rozzamente; come dicono i "grandi", praticamente non tieni conto dei termini di ordine superiore ed approssimi tutto al primo ordine.
Ma andiamo piano.
Innanzitutto ecco come si svolge il limite da me proposto correttamente: noti che:
[tex]$\lim_n \sqrt{n^2+n}-n = \lim_n n\ (\sqrt{1+\frac{1}{n}} -1)$[/tex];
il secondo fattore al secondo membro ti dovrebbe far venire subito in mente il limite notevole:
(*) [tex]$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} -1}{x} =\frac{1}{2}$[/tex]
nel quale basta porre [tex]$x=\tfrac{1}{n}$[/tex] per ottenere:
[tex]$\lim_n \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}} -1}{\frac{1}{n}} =\frac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad \lim_n n\ (\sqrt{1+\frac{1}{n}} -1) =\frac{1}{2}$[/tex];
pertanto hai:
[tex]$\lim_n \sqrt{n^2+n}-n = \lim_n n\ (\sqrt{1+\frac{1}{n}} -1)=\frac{1}{2}$[/tex].
Risolto il limite con tutti i crismi, veniamo al discorso delle approssimazioni.
In sostanza il tuo metodo è: prendo ciò che tende ad [tex]$\text{qualcosa di finito}$[/tex] e lo rimpiazzo direttamente con [tex]$\text{qualcosa di finito}$[/tex], indipendentemente da quanto velocemente ciò accada. Ad esempio tra [tex]$a_n:=\sqrt{1+\tfrac{1}{n}}$[/tex], [tex]$b_n:=\cos \tfrac{1}{n}$[/tex] e [tex]$c_n:=\tfrac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}}$[/tex] non vedi alcuna differenza, perchè rimpiazzeresti tutto con [tex]$1$[/tex] al limite.
Ebbene, il discorso non è così semplice, perchè tra le tre successioni indicate come esempio passa una grossa differenza e di questo puoi renderti subito conto usando i limiti notevoli e/o un po' di algebra.
Prendiamo la prima successione [tex]$a_n=\sqrt{1+\tfrac{1}{n}}$[/tex]: evidentemente essa tende ad [tex]$1$[/tex] al limite, però quanto velocemente?
La risposta a questa domanda sta nel limite notevole (*) già richiamato: infatti se vai a valutare al limite la differenza [tex]$a_n-1:=\sqrt{1+\tfrac{1}{n}} -1$[/tex] (che rappresente la distanza tra il termine [tex]$a_n$[/tex] ed il limite [tex]$1$[/tex]) usando il limite notevole trovi che:
[tex]$\lim_n \frac{\sqrt{1+\tfrac{1}{n}} -1}{\frac{1}{n}} =\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \lim_n \frac{\sqrt{1+\tfrac{1}{n}} -1 -\frac{1}{2n}}{\frac{1}{n}} =0$[/tex],
perciò [tex]$\sqrt{1+\tfrac{1}{n}} -1 -\tfrac{1}{2n}$[/tex] è un infinitesimo d'ordine superiore a [tex]$\tfrac{1}{n}$[/tex] (ossia [tex]$\sqrt{1+\tfrac{1}{n}} -1 -\tfrac{1}{2n}$[/tex] tende a zero "più velocemente" di [tex]$\tfrac{1}{n}$[/tex]); questo fatto si esprime anche dicendo che [tex]$\sqrt{1+\tfrac{1}{n}} -1 -\tfrac{1}{2n}$[/tex] è un [tex]$\text{o}$[/tex]-piccolo di [tex]$\tfrac{1}{n}$[/tex] e si scrive:
[tex]$\sqrt{1+\frac{1}{n}} -1 -\frac{1}{2n} =\text{o} \left( \frac{1}{n} \right)$[/tex].
Manipolando un po' algebricamente la precedente uguaglianza trovi:
[tex]$\sqrt{1+\frac{1}{n}} =1 +\frac{1}{2n} +\text{o} \left( \frac{1}{n} \right)$[/tex]
che esprime il fatto che la successione [tex]$a_n$[/tex] si avvicina ad [tex]$1$[/tex] con "velocità" [tex]$\tfrac{1}{2n}$[/tex]; il termine [tex]$\text{o}$[/tex]-piccolo è una quantità che, in prima approssimazione, risulta trascurabile perchè va a [tex]$0$[/tex] più velocemente della "velocità" [tex]$\tfrac{1}{2n}$[/tex].
Proviamo a fare lo stesso discorso per [tex]$b_n=\cos \tfrac{1}{n}$[/tex], che converge anch'essa ad [tex]$1$[/tex], ed andiamo a valutare la successione [tex]$b_n-1:=\cos \tfrac{1}{n} -1$[/tex]: per fare ciò basta usare il limite notevole del coseno:
(**) [tex]$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} =\frac{1}{2}$[/tex],
poiché sostituendo [tex]$x=\tfrac{1}{n}$[/tex] si trova:
[tex]$\lim_n \frac{1-\cos \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} =\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \lim_n \frac{\cos \frac{1}{n} -1 +\frac{1}{2n^2}}{\frac{1}{n^2}} =0$[/tex],
ossia, come prima abbiamo convenuto di scrivere:
[tex]$\cos \frac{1}{n} -1 +\frac{1}{2n^2} =\text{o} \left( \frac{1}{n^2}\right)$[/tex],
ovvero:
[tex]$\cos \frac{1}{n} =1 -\frac{1}{2n^2} +\text{o} \left( \frac{1}{n^2}\right)$[/tex].
Ne consegue che [tex]$\cos \tfrac{1}{n}$[/tex] si avvicina ad [tex]$1$[/tex] con "velocità" [tex]$\tfrac{1}{2n^2}$[/tex], che è molto più rapida della precedente (perchè [tex]$\tfrac{1}{2n^2}$[/tex] decresce a zero più rapidamente di [tex]$\tfrac{1}{2n}$[/tex]).
Per la successione [tex]$c_n$[/tex], che pure converge ad [tex]$1$[/tex], il discorso è molto più semplice: infatti, dato che [tex]$c_n=1+\frac{1}{\sqrt{n}}$[/tex], risulta:
[tex]$\frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}}=1+\frac{1}{\sqrt{n}}$[/tex]
cosicché [tex]$c_n$[/tex] si avvicina ad [tex]$1$[/tex] con "velocità" [tex]$\tfrac{1}{\sqrt{n}}$[/tex], che è molto più lenta delle precedenti due.
Quindi c'è una grossa differenza tra le tre successioni [tex]$a_n$[/tex], [tex]$b_n$[/tex] e [tex]$c_n$[/tex] e tale differenza risiede nel fatto che ognuna di esse tende ad [tex]$1$[/tex] in modo diverso.
Proprio queste diversità diventano importanti nel calcolo di alcuni limiti, come quello che ti ho proposto e quello proposto dal tuo docente, e perciò esse non devono essere fatte fuori da approssimazioni troppo rozze.
Ad esempio, abbiamo visto che [tex]$\lim_n n\ (a_n-1) =\tfrac{1}{2}$[/tex]; cosa sarebbe successo se avessi messo [tex]$b_n$[/tex] o [tex]$c_n$[/tex] al posto di [tex]$a_n$[/tex]?
Nel primo caso avremmo avuto:
[tex]$\lim_n n\cos \frac{1}{n} -n =\lim_n n\ \left( \cos \frac{1}{n} -1\right) =\lim_n n\ \left( \frac{1}{2n^2} +\text{o}(\tfrac{1}{n^2})\right) =0$[/tex]
mentre nel secondo caso:
[tex]$\lim_n \sqrt{n}(\sqrt{n} -1) -n =\lim_n n\ \left( \frac{\sqrt{n} +1}{\sqrt{n}}-1\right) =\lim_n n\ \frac{1}{\sqrt{n}} =+\infty$[/tex],
e, come puoi ben vedere, i risultati sono ben diversi!
***
Per tornare al tuo limite, ti indico la strada: hai:
[tex]$\lim_n \frac{n}{\sqrt{n+1}} -\frac{n+1}{\sqrt{n}}$[/tex],
quindi noti che il secondo addendo si può spezzare in una somma, [tex]$\tfrac{n+1}{\sqrt{n}} =\tfrac{n}{\sqrt{n}} +\tfrac{1}{\sqrt{n}}$[/tex], il cui primo addendo ha il numeratore uguale al numeratore della frazione che figura come primo addendo nel limite: sostituendo e mettendo un po' insieme le cose, il limite assegnato si trasforma in:
[tex]$\lim_n n\ \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} -\frac{1}{\sqrt{n}}\right) -\frac{1}{\sqrt{n}}$[/tex].
In questo nuovo limite, il secondo addendo è infinitesimo, quindi lascialo da parte per ora e concentrati sul primo addendo: hai:
[tex]$n\ \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} -\frac{1}{\sqrt{n}}\right) =\sqrt{n}\ \left( \sqrt{\frac{n}{n+1}} -1\right) = \sqrt{n}\ \left( \sqrt{1-\frac{1}{n+1}} -1\right)$[/tex];
per quanto visto prima hai:
[tex]$\sqrt{1-\frac{1}{n+1}} =1-\frac{1}{2(n+1)} +\text{o} \left( \frac{1}{n+1}\right)$[/tex],
quindi:
[tex]$\lim_n n\ \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} -\frac{1}{\sqrt{n}}\right) =\lim_n \sqrt{n} \left( -\frac{1}{2(n+1)} +\text{o} \left( \frac{1}{n+1}\right) \right) =0$[/tex].
Ne consegue che:
[tex]$\lim_n \frac{n}{\sqrt{n+1}} -\frac{n+1}{\sqrt{n}} =\lim_n n\ \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} -\frac{1}{\sqrt{n}}\right) -\frac{1}{\sqrt{n+1}} = 0-0 =0$[/tex].
Quindi il tuo risultato era giusto, ma il procedimento era sbagliato perchè, come già detto, basato su un'approssimazione in generale fallace.[/quote]
scusa se sono pesante...ma mi servirebbe proprio capire quello che ho scritto nell'ultima risposta!
grazie.
"Zaed":
scusa se sono pesante...ma mi servirebbe proprio capire quello che ho scritto nell'ultima risposta!
grazie.
cosa intendi dire ?
"Zaed":
...però l'unica cosa che mi sfugge è come fare a capire quando posso fare l'approssimazione (raccogliendo il termine di ordine maggiore) e quando non è possibile!...cioè mi pare di aver capito che nel mio esempio non poso dire che
[tex]\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{\sqrt{n} \sqrt{1+\frac{1}{n} }
} -\frac{n\left(1+\frac{1}{n} \right)}{\sqrt{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to +
\infty } \frac{n}{\sqrt{n} (1)} -\frac{n(1)}{\sqrt{n} }[/tex]
in quanto [tex]\sqrt{1+\frac{1}{n} }[/tex] tende ad 1 più velocemente di [tex]\left(1+\frac{1}{n} \right)[/tex]!giusto?
in questo caso però perchè è possibile usare quel metodo?
[tex]\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^2+n}{n^3+3n^2+1}=\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^2(1+\frac{1}{n})}{n^3(1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^3})}=\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^2(1)}{n^3(1)}[/tex]
infatti mi pare che [tex]1+\frac{1}{n}[/tex] tende ad 1 più velocemente di [tex]1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^3}[/tex]
"Zaed":
infatti mi pare che [tex]1+\frac{1}{n}[/tex] tende ad 1 più velocemente di [tex]1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^3}[/tex]
Come potrei darti torto ?
Ma purtroppo devo.
in realta non è così, vanno propro alla "stessa velocità".
Guarda questo link: https://www.matematicamente.it/forum/sul ... 49863.html
e vai anche sulla discussione o piccolo questo sconosciuto attualmente in corso.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo