Problema con la derivata
[size=150]--Sia f (x) = x^4 e^(2x−1) per x ≥ 0 . Se g è la funzione inversa di f. Determinare g(e).
--Sia f (x) = x^(1/x) per x > 0 . Determinare f'(1/2).
questi due esercizi non so come risolvere qualcuno mi aiutare
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--Sia f (x) = x^(1/x) per x > 0 . Determinare f'(1/2).
questi due esercizi non so come risolvere qualcuno mi aiutare
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Risposte
"jknr":
[size=150]--Sia f (x) = x 4 e 2x−1 per x ≥ 0 . Se g è la funzione inversa di f. Determinare g(e).
--Sia f (x) = x 1/x per x > 0 . Determinare f'(1/2).
questi due esercizi non so come risolvere qualcuno mi aiutare
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Cosa hai provato?
I testi degli esercizi non sono chiari. Potresti inserirli correttamente? Grazie.
--Sia f (x) = x^4 e^(2x−1) per x ≥ 0 . Se g è la funzione inversa di f .Determinare g(e).
--Sia f (x) = x^(1/x) per x > 0 . Determinare f 0 (1/2).
con il primo ho fatto la inversa poi la derivata fa mi vengono dei risultati strani
la seconda non so proprio come iniziare
--Sia f (x) = x^(1/x) per x > 0 . Determinare f 0 (1/2).
con il primo ho fatto la inversa poi la derivata fa mi vengono dei risultati strani
la seconda non so proprio come iniziare
E che vuol dire "ho fatto l'inversa"?
Sono curioso di vedere come l'hai fatta...
Sono curioso di vedere come l'hai fatta...
Ciao jknr,
Benvenuto sul forum!
Mi associo all'affermazione di gugo82 in merito alla scarsa chiarezza dei testi degli esercizi. Facciamo così: ti scrivo io i testi dei due esercizi e poi tu mi confermi se vanno bene (cioè se corrispondono a quelli che hai proposto).
1) Sia $f(x) = x^4 e^{2x - 1}$ per $x \ge 0$. Se $g$ è la funzione inversa di $f$, determinare $g(e)$;
2) Sia $f(x) = x^{1/x}$ per $x > 0$. Determinare $f'(1/2)$.
Scusa... Posso chiederti che corso stai seguendo?
Te lo chiedo perché se la funzione è quella scritta nel punto 1), la sua inversa è proporzionale alla funzione $W(z)$ di Lambert, mentre la richiesta di cui al punto 2) è più "tranquilla", basta ricordare che
$D[g(x)]^{h(x)} = [g(x)]^{h(x)} \cdot [h'(x)\ln g(x) + \frac{h(x) \cdot g'(x)}{g(x)}]$
ove, nel tuo caso, $g(x) = x$ e $h(x) = frac{1}{x}$, per cui si ha:
$f'(x) = D(x^{1/x}) = x^{1/x} \cdot [- frac{\ln x}{x^2} + \frac{1/x \cdot 1}{x}] = x^{1/x - 2} \cdot (1 - \ln x)$
Calcolando quest'ultima derivata in $x = 1/2$, in definitiva si ha:
$f'(1/2) = (1/2)^0 \cdot [1 - \ln(1/2)] = 1 + \ln 2$
Benvenuto sul forum!
Mi associo all'affermazione di gugo82 in merito alla scarsa chiarezza dei testi degli esercizi. Facciamo così: ti scrivo io i testi dei due esercizi e poi tu mi confermi se vanno bene (cioè se corrispondono a quelli che hai proposto).
1) Sia $f(x) = x^4 e^{2x - 1}$ per $x \ge 0$. Se $g$ è la funzione inversa di $f$, determinare $g(e)$;
2) Sia $f(x) = x^{1/x}$ per $x > 0$. Determinare $f'(1/2)$.
Scusa... Posso chiederti che corso stai seguendo?
Te lo chiedo perché se la funzione è quella scritta nel punto 1), la sua inversa è proporzionale alla funzione $W(z)$ di Lambert, mentre la richiesta di cui al punto 2) è più "tranquilla", basta ricordare che
$D[g(x)]^{h(x)} = [g(x)]^{h(x)} \cdot [h'(x)\ln g(x) + \frac{h(x) \cdot g'(x)}{g(x)}]$
ove, nel tuo caso, $g(x) = x$ e $h(x) = frac{1}{x}$, per cui si ha:
$f'(x) = D(x^{1/x}) = x^{1/x} \cdot [- frac{\ln x}{x^2} + \frac{1/x \cdot 1}{x}] = x^{1/x - 2} \cdot (1 - \ln x)$
Calcolando quest'ultima derivata in $x = 1/2$, in definitiva si ha:
$f'(1/2) = (1/2)^0 \cdot [1 - \ln(1/2)] = 1 + \ln 2$
si vanno bene pilloeffe
sto facendo scienze informatica primo anno
grazie pilloeffe per avermi chiarito alcuni dubbi.esercizio primo non mi ancora molto chiaro
sto facendo scienze informatica primo anno
grazie pilloeffe per avermi chiarito alcuni dubbi.esercizio primo non mi ancora molto chiaro
Io non so che cosa sia la funzione di Lambert, ma il primo esercizio si può tranquillamente fare senza saperlo.
La funzione in questione è \(f=x^4e^{2x-1}=e^{4\log x + 2x -1}\). Trovare \(g(e)\) è equivalente a risolvere l'equazione \(f(x)=e\) ovvero \(e^{4\log x + 2x -1}=e\). Calcolando il logaritmo da entrambi i lati si ricava l'equazione \(2\log x +x-1=0\) che ha come unica soluzione \(x=1\). Ovviamente lo si poteva anche osservare direttamente a partire dalla funzione di partenza, ma io sono partito a fare i calcoli senza soffermarmi troppo sulla funzione.
Sì, scusate, mi sono fatto prendere dall'affermazione di jknr
e dal relativo commento di gugo82
e mi sono focalizzato sul trovare l'espressione di $g(x)$ per $x \ge 0$, [tex]g(x)= 2W(\frac{1}{2}{\sqrt[4]{e x}})[/tex]. Si trova $g(e) = 2W(\frac{sqrt{e}}{2}) = 1$, ma in effetti non era richiesta l'espressione di $g(x)$, ma solo $g(e)$, per cui il metodo indicato da vict85 è un filino più semplice...
"jknr":
con il primo ho fatto la inversa poi la derivata fa mi vengono dei risultati strani
e dal relativo commento di gugo82
"gugo82":
E che vuol dire "ho fatto l'inversa"?
Sono curioso di vedere come l'hai fatta...
e mi sono focalizzato sul trovare l'espressione di $g(x)$ per $x \ge 0$, [tex]g(x)= 2W(\frac{1}{2}{\sqrt[4]{e x}})[/tex]. Si trova $g(e) = 2W(\frac{sqrt{e}}{2}) = 1$, ma in effetti non era richiesta l'espressione di $g(x)$, ma solo $g(e)$, per cui il metodo indicato da vict85 è un filino più semplice...
grazie pero l'aiuto.....ragazzi 
En passant, noto che è possibile calcolare anche \(g^\prime(e)\) nel primo esercizio.
Infatti, per il Teorema di Derivazione della Funzione Inversa si ha:
\[
g^\prime (e)=\frac{1}{f^\prime(g(e))}=\frac{1}{f^\prime(1)}
\]
con l'ultimo membro calcolabile senza sforzo.
Infatti, per il Teorema di Derivazione della Funzione Inversa si ha:
\[
g^\prime (e)=\frac{1}{f^\prime(g(e))}=\frac{1}{f^\prime(1)}
\]
con l'ultimo membro calcolabile senza sforzo.
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