Problema con integrale per parti (E.D.O. 1 ordine)

[lucamennoia]

Ciao a tutti, spero di non sbagliare con il post!
In questi giorni mi sto esercitando sulle equazioni differenziali lineari del primo ordine e c'è un problema che mi fa bloccare 9 volte su 10.
Nel determinare l'integrale generale si applica la solita formula:

$y = e^{int_()^()a(x) dx } [ int_()^()b(x)e^{-int_()^()a(x)dx} dx + c ]$

oppure si opera manualmente determinando il fattore integrante e ponendo la solita $z(x)$.

Il mio problema è dovuto all'integrale da svolgere: in quasi tutti i casi, per risolvere $int_()^()b(x)e^{-int_()^()a(x)dx} dx + c$ bisogna ricorrere all'integrazione per parti.
Ma non esco più dall'integrale per parti in quanto l'integrale che ne deriva è ancora da risolvere per parti e questo problema continua all'infinito quasi sempre.
Mi è capitato tutte le volte che ho svolto le tracce di analisi e continua a capitarmi.

Ecco un esempio:

$y' = y + cos x$

$a(x) = 1 , b(x) = cos x$

fattore integrante: $e^{int_()^()a(x)dx } = e^{int_()^()dx } = e^x$

$y = z(x)e^x$

$y' = z'(x)e^x + z(x)e^x$

$z'(x) = (cos x) / (e^x)$

$z(x) = int_()^()(cos x)/(e^x)dx$

$int_()^()(cos x)/(e^x)dx = (sen x) / e^x - int_()^()(sen x)/(e^x)dx$

e qui so che se risolvo per parti anche il nuovo integrale ho di nuovo una situazione simile altre infinite volte perché l'esponenziale non "se ne va" mai!
Quello che vi chiedo è di aiutarmi a capire dove sbaglio, se sbaglio, di spiegarmi un metodo per uscirne sempre, perché questo non è l'unico caso in cui mi succede! Io ricordo che questo problema mi è capitato più volte anche con altre funzioni diverse da $e^x$ (che penso dia problemi perché è una funzione derivabile infinite volte).
Non mi interessa tanto risolvere questo esercizio, ma risolvere questo tipo di problema: l'integrale per parti che non finisce mai! Grazie in anticipo.

[frab1]

Nel tuo caso A(x)=-1 e ricorda che stiamo parlando di un integrale definito tra la x della condizione di cauchy E x!

[lucamennoia]

$a(x)$, per quanto ne so io è tutto ciò che moltiplica la $y$.

L'equazione differenziale generica in forma normale è: $y' = a(x) y + b(x)$

Guarda che non è un problema di Cauchy, non c'è una condizione iniziale; bisogna soltanto trovare l'integrale generale.
Forse son io che non ho capito che vuoi dire, puoi spiegarti meglio?

[frab1]

al nostro corso l'equazione differenziale"canonica" se mi passi il termine e' stata presentata COSI:
$y'(x)+ay(x)=bx$

Che ha come soluzione: $y(x)=e^(-A(x))*int(b(x)*e^(A(x)))$
dove$ A(x)=int at dt$

Io usando questa formulazione mi trovo molto bene!!attenzione ai segni pero'!:)

[lucamennoia]

E' un metodo curioso anche questo!
Sei sicuro di non confonderti e che invece che:

$y(x) = e^(-A(x))*int_()^()(b(x)*e^(A(x))dx)$

sia:

$y(x) = e^(A(x))*int_()^()(b(x)*e^(-A(x))dx)$

io faccio anche la dimostrazione della formula risolutiva, ovvero la ricavo e tutto quadra perfettamente in teoria (il mio è un problema dovuto all'integrale e non al metodo di risoluzione dell'equazione differenziale).

Probabilmente il tuo metodo funziona lo stesso in quanto è diverso ma applicato ad un'equazione differenziale non in forma normale.
Quello mio è invece da applicare all'equazione esclusivamente in forma normale (forma normale significa che la derivata prima sia isolata rispetto agli altri membri).

Io ho chiesto un chiarimento sull'integrale per parti: tu puoi aiutarmi a risolvere l'integrale per parti?
Suppongo che anche applicando il tuo metodo l'integrale per parti sarebbe comunque difficile. Tu lo sai fare?
Se si mi scrivi i passaggi? Grazie mille

[lucamennoia]

Nessuno può aiutarmi sull'integrale per parti?