Problema con integrale improprio
devo trovare la convergenza, o meglio per quale a converge il seguente integrale...ma nn mi tornano i conti, è un es del libro e come risultato a me viene 2
$\int_{0}^{+infty} (x^a (ln(e^x -1)))/(x^2(1+x^4)) dx$
$\int_{0}^{+infty} (x^a (ln(e^x -1)))/(x^2(1+x^4)) dx$
Risposte
Per $x\to+\infty$ puoi scrivere (detta $f(x)$ la funzione integrale)
[tex]$f(x)\sim\frac{x^\alpha\cdot \ln(e^x)}{x^6}=\frac{x^{\alpha+1}}{x^6}=\frac{1}{x^{5-\alpha}}$[/tex]
e quindi, come hai trovato anche tu, affinché ci sia convergenza $5-\alpha>1$ da cui $\alpha<4$.
Per $x\to 0^+$
[tex]$f(x)\sim\frac{x^\alpha\cdot \ln x}{x^2}=\frac{\ln(x)}{x^{2-\alpha}}$[/tex]
e bisogna capire quando l'ultima cosa scritta è infinitesima, e quindi...
[tex]$f(x)\sim\frac{x^\alpha\cdot \ln(e^x)}{x^6}=\frac{x^{\alpha+1}}{x^6}=\frac{1}{x^{5-\alpha}}$[/tex]
e quindi, come hai trovato anche tu, affinché ci sia convergenza $5-\alpha>1$ da cui $\alpha<4$.
Per $x\to 0^+$
[tex]$f(x)\sim\frac{x^\alpha\cdot \ln x}{x^2}=\frac{\ln(x)}{x^{2-\alpha}}$[/tex]
e bisogna capire quando l'ultima cosa scritta è infinitesima, e quindi...
e qui nasce il problema appunto... ma avrei una domanda...nel caso $x2/e^2x$ considerandone il limite con x che tende a infinito....posso usare la gerarchia degli infiniti? oppure $e^2x$ non posso perché c è 2...dato che questo limite verrebbe ' perché la potenza è più lenta dell esponenziale
scusate è uscito un pastrocchio... la funzione che intendevo è $ (x^2)/e^(2x) $
Ovvio che devi usare la gerarchia degli infiniti/infinitesimi. E anche qui devi ragionare in quel modo.
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