Problema con integrale doppio con modulo
Salve ragazzi ho un problema (più che altro concettuale) su un integrale doppio:
$int_(D) |y-x^3|dxdy$ $D={ (x,y)inRR^2:0<=x<=1,0<=y<=x }.$
Rappresentando graficamente il dominio,si nota che si trova nel primo quadrante per cui io ho risolto l integrale in questo modo:
$int_(0)^(1) dx int_(0)^(x) y-x^3dy$$=int_(0)^(1) x^2/2-x^4 dx$$=int_(0)^(1) x^3/6-x^5/5$=$1/6-1/5=-1/30$.
La mia domanda è:
é corretto?
$int_(D) |y-x^3|dxdy$ $D={ (x,y)inRR^2:0<=x<=1,0<=y<=x }.$
Rappresentando graficamente il dominio,si nota che si trova nel primo quadrante per cui io ho risolto l integrale in questo modo:
$int_(0)^(1) dx int_(0)^(x) y-x^3dy$$=int_(0)^(1) x^2/2-x^4 dx$$=int_(0)^(1) x^3/6-x^5/5$=$1/6-1/5=-1/30$.
La mia domanda è:
é corretto?
Risposte
Il dominio è il triangolo di vertici $(0,0),\ (1,0),\ (1,1)$ del primo quadrante. Tuttavia su tale dominio l'argomento del valore assoluto cambia segno: infatti $y-x^3$ può essere sia positiva che negativa su tale dominio. Pertanto devi dividere il dominio in questi due $D=D_1\cup D_2$, per cui
[tex]$D_1=\{0\le x\le 1,\ y\le x^3\},\qquad D_2=\{0\le x\le 1,\ x^3\le y\le x\}$[/tex]
e l'integrale diventa
[tex]$\iint_{D_1} (x^3-y)\ dx\ dy+\iint_{D_2} (y-x^3)\ dx\ dy$[/tex]
[tex]$D_1=\{0\le x\le 1,\ y\le x^3\},\qquad D_2=\{0\le x\le 1,\ x^3\le y\le x\}$[/tex]
e l'integrale diventa
[tex]$\iint_{D_1} (x^3-y)\ dx\ dy+\iint_{D_2} (y-x^3)\ dx\ dy$[/tex]
Ma se ci troviamo nel primo quadrante,come fa l argomento del valore assoluto a cambiare segno?
La differenza di due quantità positive può benissimo essere negativa. Se consideri il punto [tex]$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{16}\right)$[/tex] (che appartiene al dominio $D_1$) ottieni $y-x^3=\frac{1}{16}-\frac{1}{8}=-\frac{1}{16}<0$.
Grazie,sei stato veramente esauriente e gentile.Ho un altro problema però.Ho da fare un esercizio simile a questo
integrale-doppio-in-valore-assoluto-t57395.html.
Non riesco a capire il passaggio in cui si passa da $|pcos gamma-p sin gamma|log(p^2)/p$ a $|cos gamma-sin gamma|log(p^2)/p$.
Non capisco come fa a scomparire p dall argomento del modulo.Inoltre non capisco perchè p vari da 1 a 2 quando confrontandomi anche con il mio libro di testo dovrebbe variare fra 1 e $sqrt2$.p ovviamente è uguale a $ro$
integrale-doppio-in-valore-assoluto-t57395.html.
Non riesco a capire il passaggio in cui si passa da $|pcos gamma-p sin gamma|log(p^2)/p$ a $|cos gamma-sin gamma|log(p^2)/p$.
Non capisco come fa a scomparire p dall argomento del modulo.Inoltre non capisco perchè p vari da 1 a 2 quando confrontandomi anche con il mio libro di testo dovrebbe variare fra 1 e $sqrt2$.p ovviamente è uguale a $ro$
Ho risposto lì. Hai ragione sugli estremi della $\rho$. Per quanto riguarda la semplificazione, visto che $\rho\ge 0$ si ha $|\rho\cos\theta-\rho\sin\theta|=|\rho|\cdot|\cos\theta-\sin\theta|=\rho\cdot|\cos\theta-\sin\theta|$, e quindi puoi semplificare. Ovviamente, come ho fatto notare anche sull'altra discussione, le $\rho$ a denominatore spariscono.
Grazie mille, ultima domanda e poi mi tolgo dai piedi xD.Per risolvere il primo integrale doppio che mi hai gentilmente mostrato come devo procedere?
Sarebbe giusto affermare che $0<=y<=x^3$ nel primo caso?
Ah sì, scusa, avevo dimenticato lo zero. 
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