Problema con integrale doppio
salve a tutti, su esame di matematica 2 mi è capitato questo integrale doppio e vorrei sapere come si risolve:
integrale doppio di $int int y/(x^2+y^2) dx dy$
e dominio $x^2+9y^2<=9$
e $y>=2x$
io avevo pensato di risolverlo con le cordinate ellittiche voi che ne pensate?
potete dirmi il metodo migliore i passaggi o il risultato?
integrale doppio di $int int y/(x^2+y^2) dx dy$
e dominio $x^2+9y^2<=9$
e $y>=2x$
io avevo pensato di risolverlo con le cordinate ellittiche voi che ne pensate?
potete dirmi il metodo migliore i passaggi o il risultato?
Risposte
Prova con quelle, secondo me va bene.
si lo so soltanto che non riesco a trovare teta. ro l'ho trovato. come si trova?
Tu hai posto $x = 3 \rho \cos(\theta)$ e $y = \rho \sin(\theta)$, pertanto, dalla seconda limitazione, si ottiene
$\rho \sin(\theta) \ge 6 \rho \cos(\theta)$
ovvero
$\sin(\theta) \ge 6 \cos(\theta)$
solo che in questo modo non si trovano archi notevoli... forse questa non è la strada giusta...
L'unica cosa che mi viene in mente è disegnare il dominio, e dividerlo in più regioni normali rispetto a $x$ o $y$... Ad esempio, la parte di ellisse nel secondo quadrante va presa tutta, su quella parte, imposterei così l'integrale
$\int_{-3}^{0} \int_{0}^{\sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}} f(x,y) dy dx$
Non so se mi sono spiegato...
$\rho \sin(\theta) \ge 6 \rho \cos(\theta)$
ovvero
$\sin(\theta) \ge 6 \cos(\theta)$
solo che in questo modo non si trovano archi notevoli... forse questa non è la strada giusta...
L'unica cosa che mi viene in mente è disegnare il dominio, e dividerlo in più regioni normali rispetto a $x$ o $y$... Ad esempio, la parte di ellisse nel secondo quadrante va presa tutta, su quella parte, imposterei così l'integrale$\int_{-3}^{0} \int_{0}^{\sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}} f(x,y) dy dx$
Non so se mi sono spiegato...
io ho tracciato il grafico dopo gli altri integrali come devono essere messi?
Provo ad essere un pochino più chiaro, devi dividere il dominio così
e integrare separatamente su ogni singola zona.
e integrare separatamente su ogni singola zona.
la parte viola e grigia non puo essere fatta con un solo integrale?
mi puoi dire tutti gli estremi di integrazione?
mi puoi dire tutti gli estremi di integrazione?
Zona grigia: $\int_{0}^{a_1} \int_{a_2}^{\sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}} f(x,y) dy dx$
Zona viola: $\int_{0}^{a_1} \int_{2x}^{a_2} f(x,y) dy dx$
Zona gialla: $\int_{-3}^{b_1} \int_{- \sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}}^0 f(x,y) dy dx$
Zona verde: $\int_{b_1}^{0} \int_{2x}^{0} f(x,y) dy dx$
La zona rossa è quella di qualche post precedente.
Zona viola: $\int_{0}^{a_1} \int_{2x}^{a_2} f(x,y) dy dx$
Zona gialla: $\int_{-3}^{b_1} \int_{- \sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}}^0 f(x,y) dy dx$
Zona verde: $\int_{b_1}^{0} \int_{2x}^{0} f(x,y) dy dx$
La zona rossa è quella di qualche post precedente.
"PoppoGBR":
la parte viola e grigia non puo essere fatta con un solo integrale?
Sì, se puede.
un ulrima cosa....tu hai preso tutti y-semplici giusto? come facevi a capire il verso degli estremi...nel senso quali devono andare nell'estremo inferiore e quali nell'estremo superiore. Es. da $-sqrt(1-1/9x^2)$ a 0 e non il contrario? quanto sarebbe poi il ris di questo integrale?
"PoppoGBR":
come facevi a capire il verso degli estremi...nel senso quali devono andare nell'estremo inferiore e quali nell'estremo superiore. Es. da $-sqrt(1-1/9x^2)$ a 0 e non il contrario?
Semplicemente perché $- \sqrt{1 - \frac{x^2}{9}} < 0$.
"PoppoGBR":
quanto sarebbe poi il ris di questo integrale?
Boooh... ora restano da fare i calcoletti...
Io sinceramente le parametrizzazioni delle coordinate ellittiche non le ricordo, figuriamoci all'esame...
Comunque io avrei ragionato nel seguente modo:
Innanzitutto si potrebbe inserire una variabile $t=3y => dy=1/3 *dt$.
Successivamente il dominio si riduceva in:
$x^2+t^2<=9 , t>=6x$.
A tale punto possiamo applicare le coordinate plolari del tipo ${((t=rho sen theta),(x=rho cos theta));$ e infine non dimentichiamo il jacobiano.
Dunque l'integrale sarà scritto come:
$int int (t/3)/(x^2+(t/3)^2) *1/3 *dxdt = int int t /9 *1/(x^2+(t/3)^2) dxdt$ in coordinate polari
$int_arctg6^(arctg6+pi) int_0^3 (rho^2 *sen theta) / (9 (rho^2 cos^2 theta +((rho sentheta)/3)^2)) drho d theta= int_arctan6^(arctan6 +pi) int_0^3 (sentheta)/(9*cos^2theta+sen^2theta) d rho d theta = int_arctan6^(arctan6+pi) int_0^3 (sentheta)/(8*cos^2theta+1) d rho d theta$ questo integrale è di facile risoluzione.
Comunque io avrei ragionato nel seguente modo:
Innanzitutto si potrebbe inserire una variabile $t=3y => dy=1/3 *dt$.
Successivamente il dominio si riduceva in:
$x^2+t^2<=9 , t>=6x$.
A tale punto possiamo applicare le coordinate plolari del tipo ${((t=rho sen theta),(x=rho cos theta));$ e infine non dimentichiamo il jacobiano.
Dunque l'integrale sarà scritto come:
$int int (t/3)/(x^2+(t/3)^2) *1/3 *dxdt = int int t /9 *1/(x^2+(t/3)^2) dxdt$ in coordinate polari
$int_arctg6^(arctg6+pi) int_0^3 (rho^2 *sen theta) / (9 (rho^2 cos^2 theta +((rho sentheta)/3)^2)) drho d theta= int_arctan6^(arctan6 +pi) int_0^3 (sentheta)/(9*cos^2theta+sen^2theta) d rho d theta = int_arctan6^(arctan6+pi) int_0^3 (sentheta)/(8*cos^2theta+1) d rho d theta$ questo integrale è di facile risoluzione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo