Problema con integrale di coordinate ellittiche

[Tornado86]

salve, come da topic ho un esercizio che non riesco a concludere:
dati due raggi A e B > 0 dominio: { $ A^2< x^2+4y^2 per simmetria escludo xy e sostituisco nel dominio e nell integrale doppio le coordinate ellittiche: il punto è che per far tornare le coordinate ellittiche per avere un intervallo di "ro" (non so come si scrive) semplice, poi non riesco a svolgere l'integrale perchè non mi si semplifica nulla.
spero di essere stato decente nella spiegazione.
aspetto consigli
grazie in anticipo

[Studente Anonimo]

Mediante il seguente cambiamento di variabili:

$\{(x=\rhocos\phi),(y=1/2\rhosin\phi):} rarr A<\rho
l'integrale è facilmente calcolabile:

$intdxintdy(x^2+y^2+xy)=$

$=int_0^(2\pi)d\phiint_A^Bd\rho\rho^3(cos^2\phi+1/4sin^2\phi+1/2cos\phisen\phi)=$

$=int_0^(2\pi)d\phi(cos^2\phi+1/4sin^2\phi+1/2cos\phisen\phi)int_A^Bd\rho\rho^3$

Come hai giustamente osservato, per considerazioni di simmetria:

$int_0^(2\pi)d\phi1/2cos\phisen\phi=0$