Problema con integrale

[Light1992]

Salve a tutti ,

ho un problema con questo integrale:

\( \int_\, dx\ \) $ 1/(x^2 + a^2)^(1/2) $ = $[ ln( x + (x^2 +a^2)^(1/2))] $ , lascio perdere gli estremi di integrazione che nel mio caso sono $l$ e $-l$.

Ho provato parecchi metodi , come sostituzione e integrazione per parti , ma il risultato non viene . So che questo è un integrale fondamentale ma non riesco a trovarne lo svolgimento..

[Nietzsche610]

Ciao!
Quel risultato è comunque sbagliato, cioè manca un termine $-ln(a)$.
Infatti per il tuo integrale puoi usare la sostituzione classica $x=asinh(t)->dx=acosh(t)dt$, per cui si ha:

$\int1/sqrt(x^2+a^2)dx=\int(acosht)/sqrt(a^2+a^2sinh^2t)dt=\int(acosht)/(acosht)dt=t$.

Dalla prima relazione è altresì vero che:

$t=sinh^(-1)(x/a)=ln[x/a+sqrt((x/a)^2+1)]=ln[x+sqrt(x^2+1)]-ln(a)$.

[21zuclo]

mi ricordo che a lezione, il prof non ci aveva dimostrato tutte le sostituzioni, però ci aveva fatto una bella lista e aveva detto che la dovevamo sapere a memoria..

$R$ è una funzione razionale, e può capitare 1 o entrambi i casi entro parentesi

$\int R (x, \sqrt{a^2-x^2})dx$ sostituzione $x=a\sin t, dx=a \cos t dt$

$\int R (x, \sqrt{a^2+x^2})dx$ sostituzione $x=a \sinh(t), dx= a \cosh(t) dt$

e poi ce ne sono tanti altri, che troverai sicuramente sul tuo testo di analisi matematica..

[Light1992]

Grazie , gentilissimi.