Problema con il denominatore di un limite
Stavo risolvendo questo limite $\lim_{n \to \0^+} (sin(2x) + e^(-x) * ln(1 - 2x))/(cos(x^(1/2)) - 1)^3$
Premetto che il limite deve fare 24. Io sono partito cosi:
nel numeratore riassumento(senza scrivere tutti i procedimenti) ho messo in pratica varie stime asintotiche, tra cui quella del seno, poi ho applicato quella del logaritmo nel caso in cui il suo argomento f(x) tende a zero (quindi poi ho ottenuto f(x) - 1) e infine ho notato che potevo applicare anche la stima asintotica dell'esponenziale. Quindi dopo questi accorgimenti sono giunto immediatamente che il numeratore era $~ 2x^2$
Il denominatore mi ha creato un po' di problemi, volevo applicare la stima asintotica del coseno, e quindi ho fatto un piccolo cambio di variabile di $x^(1/2) $ con $t$. Però poi giungo alla conclusione che il limite tende a $+oo$ (che è un risultato errato). Sono abbastanza sicuro che l'errore sia nel denominatore, qualcuno riuscirebbe ad indicarmi un'altra strada di interpretazione del denominatore?
Premetto che il limite deve fare 24. Io sono partito cosi:
nel numeratore riassumento(senza scrivere tutti i procedimenti) ho messo in pratica varie stime asintotiche, tra cui quella del seno, poi ho applicato quella del logaritmo nel caso in cui il suo argomento f(x) tende a zero (quindi poi ho ottenuto f(x) - 1) e infine ho notato che potevo applicare anche la stima asintotica dell'esponenziale. Quindi dopo questi accorgimenti sono giunto immediatamente che il numeratore era $~ 2x^2$
Il denominatore mi ha creato un po' di problemi, volevo applicare la stima asintotica del coseno, e quindi ho fatto un piccolo cambio di variabile di $x^(1/2) $ con $t$. Però poi giungo alla conclusione che il limite tende a $+oo$ (che è un risultato errato). Sono abbastanza sicuro che l'errore sia nel denominatore, qualcuno riuscirebbe ad indicarmi un'altra strada di interpretazione del denominatore?
Risposte
Per $[x rarr 0^+]$:
Delle due l'una:
Insomma, il limite non tende ad alcunché.
$(cossqrtx-1)^3=[1-1/2x+o(x)-1]^3=[-1/2x+o(x)]^3=-1/8x^3+o(x^3)$
"jarrod":
... giungo alla conclusione che il limite tende a $+oo$ ...
Delle due l'una:
1. Il limite è $+oo$
2. La funzione tende a $+oo$
Insomma, il limite non tende ad alcunché.
Infatti io avevo risolto cosi il denominatore, prima di passare all'altra strada che era il cambio di variabile. Perciò mi sorge davvero il dubbio che il problema sia nel numeratore a sto punto. Perchè sicuramente anche in questo caso, non fa ancora 24..
. Comunque grazie mille lo stesso!
. Comunque grazie mille lo stesso!
Per $[x rarr 0^+]$:
Probabilmente non hai prestato la dovuta attenzione alle cancellazioni.
$sin2x+e^(-x)ln(1 - 2x)=$
$=2x-4/3x^3+o(x^3)+[1-x+1/2x^2+o(x^2)][-2x-2x^2-8/3x^3+o(x^3)]=$
$=-3x^3+o(x^3)$
Probabilmente non hai prestato la dovuta attenzione alle cancellazioni.
"anonymous_0b37e9":
Delle due l'una:
1. Il limite è $+oo$
2. La funzione tende a $+oo$
Insomma, il limite non tende ad alcunché.
Sottolineo questa importante precisazione. Mi fa piacere che ci sia gente preparata come @anonymous_0b37e9 che faccia sistematicamente questo tipo di richiami, secondo me sono cose molto importanti.
"dissonance":
... secondo me sono cose molto importanti.
Si spera che "repetita iuvant".
avete ragione, grazie mille 
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