Problema con il calcolo della normale ad una superficie di livello in un punto
Ciao ragazzi,
mi sto preparando per l'esame di Analisi 2, ed avrei bisogno ancora una volta del vostro aiuto per risolvere un paio di dubbi sul seguente esercizio.
Trovare i punti critici della funzione
$f(x,y,z)=1/(z^2+x^2+3)+(π-y)^2$
Trovare inoltre la normale alla superficie di livello
$f(x,y,z)=(3π^2+1)/3$ nel punto $P=(0,0,0)$
Allora, per quanto riguarda la prima parte del problema calcolo il gradiente della funzione che vale
$∇ f(x,y,z)=(-2x/(z^2+x^2+3)^2 , 2(y-π), -2z/(z^2+x^2+3)^2)$
dunque l'unico punto critico è $(0,π,0)$
a questo punto calcolando l'Hessiana e sostituendo il punto critico trovato, la matrice diventa (mi scuso ma non so come scrivere correttamente la matrice)
$(-2/9) (0) (0)$
$(0) (2) (0)$
$(0) (0) (-2/9)$
e calcolandone il determinatnte vedo che $det=8/81$ quindi $det>0$
e poichè -2/9<0 si ha che il punto critico trovato è un punto di massimo.
(anche se dalle soluzioni del prof la matrice risulta indefinita e quindi il punto critico risulta punto di sella, ma credo sia un errore di calcolo)
QUI SORGE IL DRAMMA, per quanto riguarda il calcolo della normale alla superficie di livello, ho bisogno del vostro aiuto, non so come muovermi
mi sto preparando per l'esame di Analisi 2, ed avrei bisogno ancora una volta del vostro aiuto per risolvere un paio di dubbi sul seguente esercizio.
Trovare i punti critici della funzione
$f(x,y,z)=1/(z^2+x^2+3)+(π-y)^2$
Trovare inoltre la normale alla superficie di livello
$f(x,y,z)=(3π^2+1)/3$ nel punto $P=(0,0,0)$
Allora, per quanto riguarda la prima parte del problema calcolo il gradiente della funzione che vale
$∇ f(x,y,z)=(-2x/(z^2+x^2+3)^2 , 2(y-π), -2z/(z^2+x^2+3)^2)$
dunque l'unico punto critico è $(0,π,0)$
a questo punto calcolando l'Hessiana e sostituendo il punto critico trovato, la matrice diventa (mi scuso ma non so come scrivere correttamente la matrice)
$(-2/9) (0) (0)$
$(0) (2) (0)$
$(0) (0) (-2/9)$
e calcolandone il determinatnte vedo che $det=8/81$ quindi $det>0$
e poichè -2/9<0 si ha che il punto critico trovato è un punto di massimo.
(anche se dalle soluzioni del prof la matrice risulta indefinita e quindi il punto critico risulta punto di sella, ma credo sia un errore di calcolo)
QUI SORGE IL DRAMMA, per quanto riguarda il calcolo della normale alla superficie di livello, ho bisogno del vostro aiuto, non so come muovermi
Risposte
Non ho verificato il calcolo del primo punto.
A parte questo, per trovare il vettore (e poi normalizzando: il versore) normale alla superficie nel punto $P$ è sufficiente ricordare che data una superficie $S$ abbastanza regolare in forma cartesiana $S$, il vettore $(\grad(f(x_0)),-1)$ è uno dei due vettori normali al piano tangente, il quale viene individuato dalle derivate parziali calcolante in $x_0$.
Normalizzando ottieni poi il vettore tangente. Innanzitutto verifica che $f(P)=(3pi^2+1)/3$.
Dopo aver calcolato le derivate parziali e valutate in $(0,0,0)$, dividendo per la norma del vettore:
$vec(\nu)=\frac{(0,2pi,0,-1)}{sqrt(4pi^2+1)}$
A parte questo, per trovare il vettore (e poi normalizzando: il versore) normale alla superficie nel punto $P$ è sufficiente ricordare che data una superficie $S$ abbastanza regolare in forma cartesiana $S$, il vettore $(\grad(f(x_0)),-1)$ è uno dei due vettori normali al piano tangente, il quale viene individuato dalle derivate parziali calcolante in $x_0$.
Normalizzando ottieni poi il vettore tangente. Innanzitutto verifica che $f(P)=(3pi^2+1)/3$.
Dopo aver calcolato le derivate parziali e valutate in $(0,0,0)$, dividendo per la norma del vettore:
$vec(\nu)=\frac{(0,2pi,0,-1)}{sqrt(4pi^2+1)}$
Grazie @feddy, era effettivamente un esercizio molto semplice, grazie per la dritta!
di nulla!
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