Problema con i simboli di Landau
Ciao a tutti,
ho un piccolo problema con il seguente esercizio: "Stabilire se la seguente affermazione è vera oppure è falsa:"
$((3n), (n))$=o$(2^n)$
Procedo calcolando il limite per n$to$$oo$ e ottengo:
$\lim_{n \to \infty}(3n!)/((3n-n)!*n!)*1/(2^n)$
A questo punto però mi sono bloccato.. Essendoci un $(2^n)$ dovrebbe andare tutto a 0.. ma non ne sono certo.. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie a tutti,
Ciao ciao
ho un piccolo problema con il seguente esercizio: "Stabilire se la seguente affermazione è vera oppure è falsa:"
$((3n), (n))$=o$(2^n)$
Procedo calcolando il limite per n$to$$oo$ e ottengo:
$\lim_{n \to \infty}(3n!)/((3n-n)!*n!)*1/(2^n)$
A questo punto però mi sono bloccato.. Essendoci un $(2^n)$ dovrebbe andare tutto a 0.. ma non ne sono certo.. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie a tutti,
Ciao ciao
Risposte
per calcolare quel limite prova ad utilizzare il criterio del rapporto.
Ciao,
Intendi fare una cosa del tipo:
$\lim_{n \to \infty}((a_(n+1))/a_(n))$
Quindi in questo caso:
$\lim_{n \to \infty}(3(n+1)!)/((2n+2)!*(n+1)!*(2^(n+1)))*((2n!*n!*2^n)/(3n!))$
Ciao e grazie
Intendi fare una cosa del tipo:
$\lim_{n \to \infty}((a_(n+1))/a_(n))$
Quindi in questo caso:
$\lim_{n \to \infty}(3(n+1)!)/((2n+2)!*(n+1)!*(2^(n+1)))*((2n!*n!*2^n)/(3n!))$
Ciao e grazie
si ma fai attenzione che non è $3(n+1)!$ ma $(3n+3)!$...sono ben diversi.
Scusami hai perfettamente ragione! mi ero confuso!
Provando a svolgere un po' di conti:
$\lim_{n \to \infty}((3n+3)!)/((2n+2)!*(n+1)*2)*((2n!)/(3n!))$
$\lim_{n \to \infty}((3n+3)*(3n+2)*(3n+1)*3n!)/((2n+2)*(2n+1)*2n!*(n+1)*2)*((2n!)/(3n!))$
$\lim_{n \to \infty}((3n+3)*(3n+2)*(3n+1))/((2n+2)*(2n+1)*(n+1)*2)$
$=27/8$
Potrebbe essere oppure ho scritto una boiata?
Provando a svolgere un po' di conti:
$\lim_{n \to \infty}((3n+3)!)/((2n+2)!*(n+1)*2)*((2n!)/(3n!))$
$\lim_{n \to \infty}((3n+3)*(3n+2)*(3n+1)*3n!)/((2n+2)*(2n+1)*2n!*(n+1)*2)*((2n!)/(3n!))$
$\lim_{n \to \infty}((3n+3)*(3n+2)*(3n+1))/((2n+2)*(2n+1)*(n+1)*2)$
$=27/8$
Potrebbe essere oppure ho scritto una boiata?
corretto.
Grazie, un'ultima domanda.. Così cosa ho ottenuto? nel senso il limite del rapporto è uguale al mio limite di partenza?
Grazie ancora per la pazienza
Grazie ancora per la pazienza
Il libro di teoria che dice in merito al criterio del rapporto?
Si scusami ho espresso molto male la domanda, allora il criterio del rapporto afferma:
$b_n=(a_(n+1)/a_n). $
Se $b_n$ converge ad un limite l<1 allora la successione $a_n$ tende a zero.
Quindi in questo caso $27/8>1$ e risulta che $((3n),(n))$ non è uguale a $o(2^n)$ giusto?
$b_n=(a_(n+1)/a_n). $
Se $b_n$ converge ad un limite l<1 allora la successione $a_n$ tende a zero.
Quindi in questo caso $27/8>1$ e risulta che $((3n),(n))$ non è uguale a $o(2^n)$ giusto?
Esatto.
Anche perché il criterio ti dice che se \(l>1\) la successione \(a_n\) diverge.
Anche perché il criterio ti dice che se \(l>1\) la successione \(a_n\) diverge.
Grazie e mille per la conferma
Ciao, ciao.
Ciao, ciao.
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