Problema con gli infinitesimi
Salve a tutti.
Ho una domanda da porvi.
Può avere senso la seguente funzione integrale?
$f(x)= \int_{0}^{x} tan(d\phi)$
La domanda vi sembrerà sciocca se non una bestemmia, ma avrei bisogno di un vostro parere.
Grazie
Ho una domanda da porvi.
Può avere senso la seguente funzione integrale?
$f(x)= \int_{0}^{x} tan(d\phi)$
La domanda vi sembrerà sciocca se non una bestemmia, ma avrei bisogno di un vostro parere.
Grazie
Risposte
$int_0^x tan(phi)dphi$ denota un integrale di tan(phi). Naturalmente, affinchè esista una simile funzione, bisogna che la funzione integranda sia continua (in realtà, si può prendere un'ipotesi più debole, ma va bene così...). Cioè ciò che hai scritto avrà senso quando $x$ starà in $]-pi/2 ; pi/2[$.
@Klaus: Prova a riportare il contesto in cui hai trovato quell'integrale.
MhM...
No...Non era questa la mia domanda.
No...Non era questa la mia domanda.
si adesso ci provo...
Infatti risulta da un mio ragionamento..
Mi dovrò aiutare con un disegno.
Infatti risulta da un mio ragionamento..
Mi dovrò aiutare con un disegno.
Spiegarsi non è facile. La mia domanda deriva da un problema di ingegneria ma come al solito la chiave di tutto sta in considerazioni di tipo puramente matematico. (Non so inserire immagini)
Il problema è il seguente: consideriamo un triangolo rettangolo in cui un angolo(tranne quello retto ovviam.)è infinitesimo. Ad esempio $d\phi$.
Supponiamo di conoscere i cateti di questo triangolo ad esempio$z,\epsilon_x$, e per forza di cose il cateto opposto a tale angolo ad esempio $\epsilon_x$ è infinitesimo. Da semplici considerazioni possiamo affermare che $tan(d\phi)=(\epsilon_x)/(z)$. Poichè l'angolo è infinitesimo cioè tende a zero, la tangente sarà approsimabile con $d\phi$stesso, anzi al limite vale l'uguaglianza.
Per cui possiamo scrivere $d\phi=(\epsilon_x)/(z)$. Ora arriva il problema.
Supponiamo che sull'ipotenusa di questo triangolo rettangolo,ne venga costruito un altro "disposto" alla stessa maniera del primo,e così via, a costruire infiniti rettangoli.
Si vuole conoscere l'angolo di rotazione relativo tra il cateto $z$del primo triangolo e l'ipotenusa dell'ultimo.
Cioè matematicamente si vuole conoscere $\Phi=\int_{0}^{\Phi} d\phi$.
Ora il mio libro dice che $\Phi=\int_{0}^{\Phi} d\phi$, con $d\phi=(\epsilon_x)/(z)$ ma in questo modo in verità secondo me si calcola la tangente dell'angolo relativo.
In quanto secondo la mia opinione se $d\phi=tan(d\phi)$al limite per $d\phi$ $rarr$ $0$ non è vero integrando. In altre parole integrando non si può trascurare più l'errore, che verrebbe a sua volta integrato.
Mi fermo un attimo per assicurarmi che avete capito, anche se rileggendo mi accorgo che ho fatto un bel macello. Magari potrebbe essere più semplice se qualcuno avesse studiato la flessione semplice di una trave...
Il problema è il seguente: consideriamo un triangolo rettangolo in cui un angolo(tranne quello retto ovviam.)è infinitesimo. Ad esempio $d\phi$.
Supponiamo di conoscere i cateti di questo triangolo ad esempio$z,\epsilon_x$, e per forza di cose il cateto opposto a tale angolo ad esempio $\epsilon_x$ è infinitesimo. Da semplici considerazioni possiamo affermare che $tan(d\phi)=(\epsilon_x)/(z)$. Poichè l'angolo è infinitesimo cioè tende a zero, la tangente sarà approsimabile con $d\phi$stesso, anzi al limite vale l'uguaglianza.
Per cui possiamo scrivere $d\phi=(\epsilon_x)/(z)$. Ora arriva il problema.
Supponiamo che sull'ipotenusa di questo triangolo rettangolo,ne venga costruito un altro "disposto" alla stessa maniera del primo,e così via, a costruire infiniti rettangoli.
Si vuole conoscere l'angolo di rotazione relativo tra il cateto $z$del primo triangolo e l'ipotenusa dell'ultimo.
Cioè matematicamente si vuole conoscere $\Phi=\int_{0}^{\Phi} d\phi$.
Ora il mio libro dice che $\Phi=\int_{0}^{\Phi} d\phi$, con $d\phi=(\epsilon_x)/(z)$ ma in questo modo in verità secondo me si calcola la tangente dell'angolo relativo.
In quanto secondo la mia opinione se $d\phi=tan(d\phi)$al limite per $d\phi$ $rarr$ $0$ non è vero integrando. In altre parole integrando non si può trascurare più l'errore, che verrebbe a sua volta integrato.
Mi fermo un attimo per assicurarmi che avete capito, anche se rileggendo mi accorgo che ho fatto un bel macello. Magari potrebbe essere più semplice se qualcuno avesse studiato la flessione semplice di una trave...
Anche se aspetterei altre risposte, che possano convalidare o smentire ciò che sto per dire, ti posto quel che penso.
Molte volte in fisica bisogna intendere gli integrali in un senso molto più "grossolano":
$\Phi=\int_{0}^{\Phi}d\phi$ sta ad indicare che il tuo angolo di rotazione $\Phi$ sarà uguale alla somma di infiniti angoletti infinitesimi di dimendione $d\phi$ e che la misura di ogni angoletto è $\epsilon_x/z$.
In altre parole in quell'integrale non c'è ancora scritta la soluzione al tuo problema di calcolare l'angolo di rotazione, (anche perchè si fa ancora uso di quello stesso angolo come estremo di integrazione), ma c'è scritta una descrizione più accurata del problema, quindi i tuoi dubbi sulla liceità di quell'approssimazione non dovrebbero riguardare più questo argomento.
Tuttalpiù, volendo soffermarmi sul discorso dell'approssimazione, mi chiedo (e quindi lo chiedo a voialtri utenti del forum!) se non fosse scorretto considerare $d\phi=\epsilon_x/z$, invece di $d\phi=arctan(\epsilon_x/z)$
Molte volte in fisica bisogna intendere gli integrali in un senso molto più "grossolano":
$\Phi=\int_{0}^{\Phi}d\phi$ sta ad indicare che il tuo angolo di rotazione $\Phi$ sarà uguale alla somma di infiniti angoletti infinitesimi di dimendione $d\phi$ e che la misura di ogni angoletto è $\epsilon_x/z$.
In altre parole in quell'integrale non c'è ancora scritta la soluzione al tuo problema di calcolare l'angolo di rotazione, (anche perchè si fa ancora uso di quello stesso angolo come estremo di integrazione), ma c'è scritta una descrizione più accurata del problema, quindi i tuoi dubbi sulla liceità di quell'approssimazione non dovrebbero riguardare più questo argomento.
Tuttalpiù, volendo soffermarmi sul discorso dell'approssimazione, mi chiedo (e quindi lo chiedo a voialtri utenti del forum!) se non fosse scorretto considerare $d\phi=\epsilon_x/z$, invece di $d\phi=arctan(\epsilon_x/z)$
[mod="Gugo82"]@Boris: Ti pregherei di selezionare un'altra immagine per l'avatar, cercando di attenerti alle limitazioni sulle dimensioni fissate nel regolamento (cfr. 2.3); è necessario scegliere avatar "piccoli" per non creare problemi di riscalamento delle immagini.
Grazie.[/mod]
Grazie.[/mod]
detto fatto 
Azzie. 
@Boris. Effettivamente è così.
Non so davvero come spiegarmi, comunque seguendo altre strade giungo al fatto che il valore esatto dell'angolo è dato proprio da $d\phi=arctan(\epsilon_x)/(z)$e quindi integrando QUESTA espressione si ottiene il valore$\Phi$esatto.
Comunque senza che io vado nel particolare,in quanto ho capito che non mi sarà semplice spiegarvi per filo e per segno il problema, rimanendo in ambito puramente astratto mi chiedo usando il tuo linguaggio, cosa vuol dire calcolare la somma delle tangenti infinitesime?
Come scrivevo all'inizio se $tan(d\phi)=(\epsilon_x)/(z)$e adesso aggiungo che in verità$tan(d\phi)=(\epsilon_x*dx)/(z)$
Cosa vuol dire fare la somma infinita delle tangenti infinitesime? e può avere senso dal punto di vista formale la scrittura
$\int_{0}^{x} tan(d\phi) $ ?
Non so davvero come spiegarmi, comunque seguendo altre strade giungo al fatto che il valore esatto dell'angolo è dato proprio da $d\phi=arctan(\epsilon_x)/(z)$e quindi integrando QUESTA espressione si ottiene il valore$\Phi$esatto.
Comunque senza che io vado nel particolare,in quanto ho capito che non mi sarà semplice spiegarvi per filo e per segno il problema, rimanendo in ambito puramente astratto mi chiedo usando il tuo linguaggio, cosa vuol dire calcolare la somma delle tangenti infinitesime?
Come scrivevo all'inizio se $tan(d\phi)=(\epsilon_x)/(z)$e adesso aggiungo che in verità$tan(d\phi)=(\epsilon_x*dx)/(z)$
Cosa vuol dire fare la somma infinita delle tangenti infinitesime? e può avere senso dal punto di vista formale la scrittura
$\int_{0}^{x} tan(d\phi) $ ?
"Klaus":
Cosa vuol dire fare la somma infinita delle tangenti infinitesime?
la tangente di $\phi$, da un punto di vista geometrico, è quel segmentino appartenente alla tangente alla circonferenza (centrata in $(0,0)$)in $(r,0)$, delimitato dall'intersezione con l'asse $x$ e la retta passante per l'orgine di coefficiente $m=tan(\phi)$.
quando l'angolo è infinitesimo il segmento è infinitesimo, ma integrando si arriva ad una lunghezza finita.
Se vogliamo possiamo considerare il limite di $\phi rArr 0$ e l'integrazione come "due forze opposte" che si bilanciano tra di loro.
Se poi vuoi sapere precisamente cosa ottieni integrando le tangenti.. non lo so..
"Klaus":
può avere senso dal punto di vista formale la scrittura $\int_{0}^{x}tan(d\phi)$ ?
Ha sicuramente senso $\int_{0}^{x}(\epsilon_xdx)/z$, e credo che forse tu debba vederla in termini di questo secondo integrale. Il primo dal punto di vista formale.. beh credo abbia poco di formale.. o almeno per la teoria dell'integrazione che ho affrontato finora.
Mi dispiace non poterti esere più utile..
Grazie, comunque mi sei stato utile.
Magari aspetto ugualmente che qualche mente superiore mi illumini.
Magari aspetto ugualmente che qualche mente superiore mi illumini.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo