Problema con funzioni integrali
Ciao ragazzi, mi potreste aiutare con questo problema?
Si tratta dell'esercizio di un test scritto che non sono riuscita a passare
La funzione $f(x)=$ $int_(e)^(x^2) t/(ln(t)) dt$ è definita nell'intervallo aperto $0$ , $+infty$ scrivere l'equazione della retta passante per i punti $(1, sqrt(e))$ ;
trovare una primitiva $G(x)$ della funzione $g(x) =$ $e^x(2x+x^2)$. Poi integrare $int G(x)g(x)dx$
Non sapendo dove mettere le mani, nella prima parte ho trattato semplicemente l'integrale $int_(e)^(x^2)t/(ln(t))dt$ come un integrale improprio spezzandolo in $int_(0)^(x^2)t/(ln(t))dt$ $-$ $int_(0)^(e)t/(ln(t))dt$ per poi applicare la formula dell'integrale improprio con $ 0$ e $xi$ ma con scarsi risultati non sapendo trovare una primitiva di $t/(ln(t))$ per applicare la formula.
Nella seconda parte ho semplicemente integrato $int e^x(2x+x^2)dx$ usando il metodo per sostituzione $y=(2x+x^2)$ e poi ho fatto l'integrale del risultato $G(x)$ moltiplicato per la funzione $g(x)$, ottenendo solo una lunghissima, macchinosa ed immagino errata sfilza di prodotti come risultato.
Come andava fatto?
Si tratta dell'esercizio di un test scritto che non sono riuscita a passare
La funzione $f(x)=$ $int_(e)^(x^2) t/(ln(t)) dt$ è definita nell'intervallo aperto $0$ , $+infty$ scrivere l'equazione della retta passante per i punti $(1, sqrt(e))$ ;
trovare una primitiva $G(x)$ della funzione $g(x) =$ $e^x(2x+x^2)$. Poi integrare $int G(x)g(x)dx$
Non sapendo dove mettere le mani, nella prima parte ho trattato semplicemente l'integrale $int_(e)^(x^2)t/(ln(t))dt$ come un integrale improprio spezzandolo in $int_(0)^(x^2)t/(ln(t))dt$ $-$ $int_(0)^(e)t/(ln(t))dt$ per poi applicare la formula dell'integrale improprio con $ 0$ e $xi$ ma con scarsi risultati non sapendo trovare una primitiva di $t/(ln(t))$ per applicare la formula.
Nella seconda parte ho semplicemente integrato $int e^x(2x+x^2)dx$ usando il metodo per sostituzione $y=(2x+x^2)$ e poi ho fatto l'integrale del risultato $G(x)$ moltiplicato per la funzione $g(x)$, ottenendo solo una lunghissima, macchinosa ed immagino errata sfilza di prodotti come risultato.
Come andava fatto?
Risposte
Per quanto riguarda il primo integrale, confermo che non c'è una primitiva per $ t/ln(t) $, quindi non saprei come procedere.. mi verrebbe giusto da considerare che $ f(sqrte) $ è 0, ma non saprei come trovare $ f(x)=1 $ .
Riguardo il secondo integrale, basta svolgere il prodotto e spezzare in due integrali. Svolgendo l'integrale per parti a $ 2xe^x $, l'integrale dovrebbe avere un risultato molto semplice, ovvero $ e^x x^2 $
Riguardo il secondo integrale, basta svolgere il prodotto e spezzare in due integrali. Svolgendo l'integrale per parti a $ 2xe^x $, l'integrale dovrebbe avere un risultato molto semplice, ovvero $ e^x x^2 $
Grazie per la risposta
Quindi dici fare il prodotto prima di integrare così esce $2xe^x + x^2e^x$ e poi integrare per parti. Ok
Per caso sai anche come fare poi $intG(x)g(x)$?
Quindi dici fare il prodotto prima di integrare così esce $2xe^x + x^2e^x$ e poi integrare per parti. Ok
Per caso sai anche come fare poi $intG(x)g(x)$?
$ int G(x)g(x)dx =int e^x(2x+x^2) e^x x^2dx $
Quindi svolgendo il prodotto e staccando rimane $ int 2e^(2x)x^3dx+inte^(2x) x^4dx $
A questo punto svolgendo per parti $ inte^(2x) x^4dx $ ottieni facilmente il risultato $ 1/2x^4e^(2x) $.
Quindi svolgendo il prodotto e staccando rimane $ int 2e^(2x)x^3dx+inte^(2x) x^4dx $
A questo punto svolgendo per parti $ inte^(2x) x^4dx $ ottieni facilmente il risultato $ 1/2x^4e^(2x) $.
Non ti serve la primitiva per fare l'esercizio. Piuttosto, sicura di questa frase?
"AliceWest":
[...] retta passante per i punti $(1, sqrte)$
Ciao AliceWest,
Concordo con Weierstress, nel senso che non è che per caso in realtà è richiesta l'equazione della retta passante per il punto $(sqrt{e}, 0)$, cioè per il punto di coordinate $x_0 = sqrt{e} $ e $y_0 = 0$ ?
In tal caso sarebbe semplicemente $y - y_0 = f'(x_0) (x - x_0) $, quindi basterebbe trovare la derivata di $f(x) $ e poi calcolarla in $x_0 = sqrt{e} $
Dato che in generale se
$f(x) = int_{a(x)}^{b(x)} i(t) dt $
si ha:
$f'(x) = i(b(x)) \cdot b'(x) - i(a(x)) \cdot a'(x) $
Nel caso in esame $a(x) = e \implies a'(x) = 0 $, $b(x) = x^2 \implies b'(x) = 2x $ e $ i(t) = t/ln(t) $, per cui si ha:
$f'(x) = i(b(x)) \cdot b'(x) = frac{x^2}{ln x^2} \cdot 2x $
Dunque per $x_0 = sqrt{e} $ si ha:
$f'(x_0) = frac{e}{ln e} \cdot 2 sqrt{e} = 2e sqrt{e} $
In definitiva la retta cercata ha l'equazione seguente:
$y = 2e sqrt{e} (x - sqrt{e}) = 2e sqrt{e} x - 2e^2 $
"AliceWest":
scrivere l'equazione della retta passante per i punti $(1,sqrt{e}) $;
Concordo con Weierstress, nel senso che non è che per caso in realtà è richiesta l'equazione della retta passante per il punto $(sqrt{e}, 0)$, cioè per il punto di coordinate $x_0 = sqrt{e} $ e $y_0 = 0$ ?
In tal caso sarebbe semplicemente $y - y_0 = f'(x_0) (x - x_0) $, quindi basterebbe trovare la derivata di $f(x) $ e poi calcolarla in $x_0 = sqrt{e} $
Dato che in generale se
$f(x) = int_{a(x)}^{b(x)} i(t) dt $
si ha:
$f'(x) = i(b(x)) \cdot b'(x) - i(a(x)) \cdot a'(x) $
Nel caso in esame $a(x) = e \implies a'(x) = 0 $, $b(x) = x^2 \implies b'(x) = 2x $ e $ i(t) = t/ln(t) $, per cui si ha:
$f'(x) = i(b(x)) \cdot b'(x) = frac{x^2}{ln x^2} \cdot 2x $
Dunque per $x_0 = sqrt{e} $ si ha:
$f'(x_0) = frac{e}{ln e} \cdot 2 sqrt{e} = 2e sqrt{e} $
In definitiva la retta cercata ha l'equazione seguente:
$y = 2e sqrt{e} (x - sqrt{e}) = 2e sqrt{e} x - 2e^2 $
Intanto grazie 1000 a tutti per le risposte
Ora la seconda parte $intG(x)g(x)$ mi è completamente chiara.
la prima parte invece, da un lato avevo capito che in quel caso sapere la primitiva di $t/(ln(t))$ non serviva, però non capivo proprio che cosa io dovessi fare.
Chiarisco che si le coordinate potrei essermi sbagliata. Detto questo, la formula $y-y_0 = f'(x_0)(x-x_0)$ non la conoscevo proprio. E nemmeno come applicarla alla funzione.
Invece $f(x)=$ $int_(a(x))^(b(x))i(t)dt$ $f'(x)=$ $i(b(x))b'(x) - i(a(x))a'(x)$ è un teorema? Non la conoscevo, di che si tratta?
Grazie ancora
Ora la seconda parte $intG(x)g(x)$ mi è completamente chiara.
la prima parte invece, da un lato avevo capito che in quel caso sapere la primitiva di $t/(ln(t))$ non serviva, però non capivo proprio che cosa io dovessi fare.
Chiarisco che si le coordinate potrei essermi sbagliata. Detto questo, la formula $y-y_0 = f'(x_0)(x-x_0)$ non la conoscevo proprio. E nemmeno come applicarla alla funzione.
Invece $f(x)=$ $int_(a(x))^(b(x))i(t)dt$ $f'(x)=$ $i(b(x))b'(x) - i(a(x))a'(x)$ è un teorema? Non la conoscevo, di che si tratta?
Grazie ancora
"AliceWest":
Chiarisco che si le coordinate potrei essermi sbagliata.
Ok, ma quindi?
"AliceWest":
[...] Detto questo, la formula [...] non la conoscevo proprio. E nemmeno come applicarla alla funzione
Se davvero non conosci quella formula, ti consiglio di ripassare molto attentamente il capitolo sul calcolo differenziale.
"AliceWest":
[...] Invece [...] è un teorema? Non la conoscevo, di che si tratta?
E' la regola della catena. Se davvero non la conosci, ti consiglio di ripassare molto attentamente il capitolo sul calcolo differenziale.
La chain rule? Non era quella per trovare la derivata di funzioni composte? $f'(g(x)).g'(x)$
però applicata alla funzione integrale per giunta definito fra 2 funzioni $x^2$ ed $e$ non capivo come applicarla
invece quella $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$ non la sapevo
ripasserò quella parte
(le coordinate non avendo il compito sottomano sono andata a memoria per riportarle qui)
però applicata alla funzione integrale per giunta definito fra 2 funzioni $x^2$ ed $e$ non capivo come applicarla
invece quella $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$ non la sapevo
ripasserò quella parte(le coordinate non avendo il compito sottomano sono andata a memoria per riportarle qui)
"Weierstress":
[quote="AliceWest"]
Chiarisco che si le coordinate potrei essermi sbagliata.
Ok, ma quindi? [/quote]
Secondo me al $99\% $ è come ho scritto, ed il sospetto mi è venuto perché $int_{e}^1 frac{t}{ln t} $ non converge, mentre ovviamente
$f(sqrt{e}) = int_e^e t/ln(t) = 0 $
"AliceWest":
La chain rule? Non era quella per trovare la derivata di funzioni composte? $f'(g(x)) \cdot g'(x) $
Infatti... Dai un'occhiata anche all'ottimo post di gugo82 in questo thread.
"Weierstress":
[quote="AliceWest"]
[...] Detto questo, la formula [...] non la conoscevo proprio. E nemmeno come applicarla alla funzione
Se davvero non conosci quella formula, ti consiglio di ripassare molto attentamente il capitolo sul calcolo differenziale.[/quote]
Completamente d'accordo con Weierstress...
Segnalo che, prima ancora del calcolo differenziale, l'equazione $y - y_0 = m (x - x_0) $ è l'equazione di un fascio proprio di rette per $P(x_0, y_0) $, roba che si fa in terza superiore. Poi, una volta appreso il calcolo differenziale, (quasi) tutti sanno che per la retta tangente si trova $m = f'(x_0) $
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