Problema con funzione composta

[Obidream]

Siano $x,f(x),a,b$ interi positivi. Inoltre se $a>b$, allora $f(a)>f(b)$.

Se $f(f(x)) = x^2 +2$ quanto vale $f(3)$?

Il testo originale è questo, è tradotto dall'inglese:

Let $x,f(x),a,b$ be positive integers. Furthermore if $a>b$, then $f(a) > f(b)$. Now if $f(f(x)) = x^2 +2$, then what is $f(3)$?

Probabilmente $f$ da quel che mi dice il testo è strettamente crescente però a questo punto non ho proprio idea di come procedere. Qualche suggerimento?

[javicemarpe]

Well, you know that $f(3)=f[f(f(1))]=f(1)^2+2$, so you only have to compute $f(1)$. At this point, I would test some situations using the fact that $f$ es strictly increasing.

[Bremen000]

Metto la mia soluzione in spoiler perché più che un quesito di analisi mi pare una cosa da giochi matematici e non voglio rovinare il divertimento a nessuno!

Siano $a,b,x,f(x)$ interi positivi e valga $a>b \Rightarrow f(a) > f(b)$.

Dimostro che per ogni $n$ intero positivo vale $n
Prima di tutto è vero per $n=1$ giacché $f(1) \ge 1$ per l'ipotesi che $f(x)$ sia intero positivo e inoltre se valesse $f(1)=1$ allora si avrebbe, applicando $f$ a entrambi i membri, $f(f(1))=f(1)$ ovvero $1^2+2=f(1)=1$ che è assurdo.

Sia vero per $n$ generico, mostro che vale per $n+1$: $f(n+1) >f(n) >n \Rightarrow f(n+1) \ge n+1 $ e inoltre se valesse $f(n+1)=n+1$ si avrebbe, applicando $f$ a entrambi i membri, $f(f(n+1))=f(n+1)=n+1 \Rightarrow (n+1)^2+2 = n+1$ che non ha soluzioni reali.

Allora è provato che $n
Dunque

$f(1)
e quindi

$1
e quindi necessariamente $f(1)=2$.

Applicando $f$ a ambo i membri si ha $f(f(1))=3=f(2)$ e riapplicando $f$ all'ultima uguaglianza si ha $f(3) = f(f(2))=2^2+2=6$.

Dunque $f(3)=6$.

[javicemarpe]

"Bremen000":Metto la mia soluzione in spoiler perché più che un quesito di analisi mi pare una cosa da giochi matematici e non voglio rovinare il divertimento a nessuno!

Siano $a,b,x,f(x)$ interi positivi e valga $a>b \Rightarrow f(a) > f(b)$.

Dimostro che per ogni $n$ intero positivo vale $n
Prima di tutto è vero per $n=1$ giacché $f(1) \ge 1$ per l'ipotesi che $f(x)$ sia intero positivo e inoltre se valesse $f(1)=1$ allora si avrebbe, applicando $f$ a entrambi i membri, $f(f(1))=f(1)$ ovvero $1^2+2=f(1)=1$ che è assurdo.

Sia vero per $n$ generico, mostro che vale per $n+1$: $f(n+1) >f(n) >n \Rightarrow f(n+1) \ge n+1 $ e inoltre se valesse $f(n+1)=n+1$ si avrebbe, applicando $f$ a entrambi i membri, $f(f(n+1))=f(n+1)=n+1 \Rightarrow (n+1)^2+2 = n+1$ che non ha soluzioni reali.

Allora è provato che $n
Dunque

$f(1)
e quindi

$1
e quindi necessariamente $f(1)=2$.

Applicando $f$ a ambo i membri si ha $f(f(1))=3=f(2)$ e riapplicando $f$ all'ultima uguaglianza si ha $f(3) = f(f(2))=2^2+2=6$.

Dunque $f(3)=6$.

My approach was the following one:

We only have to compute $f(1)$ because $f(3)=f[f(f(1))]=f(1)^2+2$.

Now, if we suppose $3\leq f(1)$, then $f(3)\leq f(f(1))=3
Then we have $f(1)< 3$. Now, as our function has no fixed points, we have that $f(1)\ne 1$. So $f(1)=2$, and then we are donde.