Problema con flusso del rotore e versore normale alla superficie
Salve a tutti, ho un problema con questo esercizio:
Calcolare $int (x/(x^2+y^2+z^2))dy-(y/(x^2+y^2+z^2)dx)$ lungo il bordo di $S$ (non specifica neanche l'orientazione) dove $S$ è la superficie laterale del cilindro tale che $x^2+y^2<=1, 0<=z<=1$.
Io ragiono così: dato che il bordo a me crea problemi capire bene qual'è in questo caso, preferisco utilizzare il teorema di Stokes, tale che posso riscrivere l'integrale come $intint(rot(F))*ndS$ calcolato sul dominio $S$, dove $F=((-y/(x^2+y^2+z^2)),(x/(x^2+y^2+z^2)),0)$ dunque calcoliamo innanzitutto rot($F$)=$((x^2+y^2+z^2 -2x^2)/(x^2+y^2+z^2)^2 + (x^2+y^2+z^2-2y^2)/(x^2+y^2+z^2))k$, dato che $F$ è un capo vettoriale sul piano (non ha nessun vettore con una componente lungo $z$) e il rot($F$) è per forza di cose un vettore lungo l'asse $z$, dal momento che il versore $n$ normale alla superficie laterale del cilindro ha componente nulla lungo $z$ dato che $n=(cos(theta),sen(theta),0)$ abbiamo che il flusso del rotore è nullo...voi cosa dite? Non ne riesco ad uscire da questo ragionamento, per me è ovvio che sia nullo: ho un rot($F$) lungo $z$ e un versore normale alla superficie che ha componente nulla....però il libro non è daccordo...
Calcolare $int (x/(x^2+y^2+z^2))dy-(y/(x^2+y^2+z^2)dx)$ lungo il bordo di $S$ (non specifica neanche l'orientazione) dove $S$ è la superficie laterale del cilindro tale che $x^2+y^2<=1, 0<=z<=1$.
Io ragiono così: dato che il bordo a me crea problemi capire bene qual'è in questo caso, preferisco utilizzare il teorema di Stokes, tale che posso riscrivere l'integrale come $intint(rot(F))*ndS$ calcolato sul dominio $S$, dove $F=((-y/(x^2+y^2+z^2)),(x/(x^2+y^2+z^2)),0)$ dunque calcoliamo innanzitutto rot($F$)=$((x^2+y^2+z^2 -2x^2)/(x^2+y^2+z^2)^2 + (x^2+y^2+z^2-2y^2)/(x^2+y^2+z^2))k$, dato che $F$ è un capo vettoriale sul piano (non ha nessun vettore con una componente lungo $z$) e il rot($F$) è per forza di cose un vettore lungo l'asse $z$, dal momento che il versore $n$ normale alla superficie laterale del cilindro ha componente nulla lungo $z$ dato che $n=(cos(theta),sen(theta),0)$ abbiamo che il flusso del rotore è nullo...voi cosa dite? Non ne riesco ad uscire da questo ragionamento, per me è ovvio che sia nullo: ho un rot($F$) lungo $z$ e un versore normale alla superficie che ha componente nulla....però il libro non è daccordo...
Risposte
Non hai bisogno dell'orientazione: il bordo di $S$ sono due circonferenze (una per $z=0$, l'altra per $z=1$) per cui se decidi di percorrere quella in alto in senso antiorario, quella in basso va percorsa nel senso opposto.
Non ho fatto i conti del rotore (mi fido) ma se ti è venuto diretto lungo l'asse $z$, allora sulla superficie laterale sei a posto. Resta da vedere cosa accade sulle due basi, dove $z=0,\ 1$ e dove i versori normali sono $(0,0,1)$ per quella superiore e $(0,0,-1)$ si quella inferiore.
Non ho fatto i conti del rotore (mi fido) ma se ti è venuto diretto lungo l'asse $z$, allora sulla superficie laterale sei a posto. Resta da vedere cosa accade sulle due basi, dove $z=0,\ 1$ e dove i versori normali sono $(0,0,1)$ per quella superiore e $(0,0,-1)$ si quella inferiore.
Ciao, comunque, anche senza calcolare il rotore sapevo gia che sarebbe stato col verso lungo $z$ dato che $F$ era un campo vettoriale piano...a meno di qualcosa che mi sfugge...però, ci avevo pensato che avrei dovuto calcolare il flusso lungo le basi del cilindro per $z=1$ e $z=0$ ma...il mio dubbio è, fanno parte della superficie laterale? Cioè, mi han chiesto di calcolare lungo la superficie laterale, se considero anche le "due basi" io considero tutta la superficie del cilindro...
Calmo: il fatto che $S$ sia la superficie laterale (e solo quella) è perché così puoi dire che il bordo sono le due circonferenze di cui parlavamo (altrimenti, se $S$ fosse tutta la superficie del cilindro, non avresti bordo).
Tuttavia, quando si applica il Teorema di Stokes, si deve considerare la "chiusura" di questo bordo: cioè non solo la superficie $S$ di partenza ma anche le parti che servono a chiudere la figura. Ecco il perché poi vanno considerate anche le basi. Chiaro?
Tuttavia, quando si applica il Teorema di Stokes, si deve considerare la "chiusura" di questo bordo: cioè non solo la superficie $S$ di partenza ma anche le parti che servono a chiudere la figura. Ecco il perché poi vanno considerate anche le basi. Chiaro?
adesso ha senso...certo che da solo avrei difficoltà a fare questo tipo di ragionamenti...adesso mi riguardo BENE queste cose.
grazie
grazie
Basta leggere con attenzione le ipotesi di questi Teoremi (Gauss, Stokes, Greene): ti accorgerai che in ogni caso si considera qualcosa che viene completamente "inviluppato" dall'ente geometrico di dimensione minore, e questo ti porta a considerare anche pezzi che, originariamente, sembrano non essere presenti. Un tipico esempio è l'applicazione del teorema della divergenza quando il "solido" non risulta chiuso: in quel caso vanno aggiunte le pari mancanti eli integrali vengono fuori facendo delle somme e differenze di pezzi distinti.
Ho riletto bene le ipotesi, dunque, tra queste c'è che la superficie $S$ deve essere regolare (ovvero deve sempre esistere il piano tangente in ogni punto della superficie, deve dunque essere differenziabile in ogni punto e deve essere che $ruXRv!=0$ dove $r(u,v)$ rappresenta la superficie) e orientabile, sia dotata di bordo che non, dunque, adesso, se l'esercizio avesse tenuto conto di $S$ come la superficie totale del cilindro che non ha bordo, il flusso del rotore sarebbe uguale ad un valore $!=0$ mentre l'integrale di linea lungo il bordo che non esiste sarebbe nullo e dunque qua mi blocco 
cioè, se devo aggiungere le superfici di base per completare la figura funziona, altrimenti no....però va contro le ipotesi del teorema...te cosa dici?
cioè, se devo aggiungere le superfici di base per completare la figura funziona, altrimenti no....però va contro le ipotesi del teorema...te cosa dici?
Scusa Ciampax, avevo sbagliato a calcolare il rotore, convinto fosse solo lungo $z$ invece il $rot(F)=(2xz/(x^2+y^2+z^2),2yz/(x^2+y^2+z^2), 2z/(x^2+y^2+z^2))$ di conseguenza se calcolo $ intint(rot(F))*ndS $ ed integro sulla superficie parametrizzata da $r(t,theta): x=cos(theta), y=sen(theta), z=t$ $ t\in[0,1]$ e $theta \in[0,2pi]$ ottengo che il risultato è esattamente $pi$ che è quello che dovrei ottenere. Ora, da quello che mi hai detto che, che devo calcolare il flusso del rotore anche sulle due basi del cilindro, se integro sulla prima ottengo $0$, se integro sulla seconda, dove $z=1$ ottengo che il risultato è $pi$ e di conseguenza se sommo i risultati ottengo $2pi$ che è sbagliato....cosa ne dici te? è abbastanza importante...grazie
In realtà mi sono reso conto che mi sono espresso male. L'idea è questa: per calcolare il tutto con il teorema di Stokes, hai bisogno di "chiudere" il solido, quindi hai bisogno di aggiungere alla superficie laterale le due basi $B_0,\ B_1$. Ora, facendo questo, detto $C$ il cilindro pieno, hai ovviamente che $\partial C=S\cup B_0\cup B_1$. Ne segue che per il teorema del rotore
$$\int_C (\nabla\wedge F)=\int_S F\bullet n+\int_{B_0} F\bullet n+\int_{B_1} F\bullet n$$
e quindi
$$\int_S F\bullet n=\int_C (\nabla\wedge F)-\int_{B_0} F\bullet n-\int_{B_1} F\bullet n$$
dove $\nabla\wedge F$ è il rotore.
$$\int_C (\nabla\wedge F)=\int_S F\bullet n+\int_{B_0} F\bullet n+\int_{B_1} F\bullet n$$
e quindi
$$\int_S F\bullet n=\int_C (\nabla\wedge F)-\int_{B_0} F\bullet n-\int_{B_1} F\bullet n$$
dove $\nabla\wedge F$ è il rotore.
Eccomi, scusa ma non ho capito bene cosa intendi per \[ \int_C (\nabla\wedge F)=\int_S F\bullet n+\int_{B_0} F\bullet n+\int_{B_1} F\bullet n \], il primo integrale cosa rappresenta?
Allora, nell'ordine:
1) integrale triplo su tutto il cilindro $C$ del rotore del campo;
2) integrale del flusso lungo la superficie
3) integrale del flusso sulla base in basso (con il versore normale rivolto verso il basso)
4) integrale del flusso sulla base in alto (con il versore normale rivolto verso l'alto)
1) integrale triplo su tutto il cilindro $C$ del rotore del campo;
2) integrale del flusso lungo la superficie
3) integrale del flusso sulla base in basso (con il versore normale rivolto verso il basso)
4) integrale del flusso sulla base in alto (con il versore normale rivolto verso l'alto)
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